Бесконечное кол-во решений уравнения в целых числах

[scwec]

Докажите, что уравнение $\dfrac{(p-q)p(p+q)}{(r-q)r(r+q)}=N$ при любом целом $N$ разрешимо в целых числах $p,q,r$.
Докажите также, что решений $p,q,r$ таких, что $\gcd(p,q,r)=1$ для любого целого $N$ бесконечно много.

[ИСН]

Ну, по одному-то найти легко: $(p,r,q)=(2N+1,N+2,N-1)$ (или его сокращение, если оно сократимо).

[nnosipov]

Дальше можно это решение размножить удвоением на соответствующей эллиптической кривой. Для произвольного $N$ доказательство бесконечности так получаемых решений может оказаться, правда, непростым.

[scwec]

К указанному ИСН решению можно добавить, например, $(p,q,r)=(6N,8N^2+1,8N^2-2)$ и т.д.
Идея nnosipov относительно использования эллиптической кривой верная, но нужно определить, что есть соответствующая эллиптическая кривая в данном случае.
От этого будет зависеть дальнейшее.
Если на этой кривой, записанной в Вейерштрассовой форме, найдется рациональная точка с нецелыми координатами, то бесконечность
рациональных точек на ней обеспечена. Однако, от рациональных точек этой кривой надо ещё перейти к целым $p,q,r$ нашего уравнения.
Так что начало правильное.
Вопрос пока открыт.

[scwec]

Рассмотрим эллиптическую кривую $w^2=u^3-3N^2{u}+N^2+N^4\qquad(1)$.
Рациональная точка $P=(u_0,w_0)=\left(\dfrac{1}{4},N^2+\dfrac{1}{8}\right)$ лежит на этой кривой и является точкой бесконечного порядка,
поскольку точка конечного порядка обязана иметь целые координаты (по Лутц-Нагелю).
Сл-но, на $(1)$ бесконечно много рациональных точек $kP$,где $k$ целое число.
Если $(u,w)$ любая рациональная точка на $(1)$, то $u,w$ имеют вид $u=\dfrac{a}{e^2}$, $w=\dfrac{c}{e^3}$,
где $a,c,e$ целые числа, $e>0$ и $\gcd(a,e)=\gcd(c,e)=1$.
Обозначим $X=Ne(a-e^2),Y=e(a-N^2{e^2}),Z=c$ и $d=\gcd(X,Y,Z)$.
Легко проверить, что $p=\dfrac{X}{d},q=\dfrac{Z}{d},r=\dfrac{Y}{d}$ удовлетворяют уравнению $\dfrac{p(p^2-q^2)}{r(r^2-q^2)}=N$ и $\gcd(p,q,r)=1$
В качестве упражнения доказывается, что две рациональные точки с различными $u$ соответствуют разным тройкам $p,q,r$. Таким образом, нужных троек $p,q,r$ бесконечно много.