![$\lim_{n\to\infty}{n(\sqrt[6]{n^6+6n^5}-\sqrt{n^2+2n})}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/1/a716e0c791687fb7ea209e72793e9be482.png "$\lim_{n\to\infty}{n(\sqrt[6]{n^6+6n^5}-\sqrt{n^2+2n})}$")
.
Умножал на
![$\sqrt[6]{n^6+6n^5}+\sqrt{n^2+2n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/d/f9df8330b8f66958202fcb1afcc165c382.png "$\sqrt[6]{n^6+6n^5}+\sqrt{n^2+2n}$")
.
Умножать таким образом нельзя, так как получается выражение, не равное первоначальному, и с другим пределом. А уж если умножаете, то надо сразу же и делить на то же самое.
Получил:
![$\lim_{n\to\infty}{n(\sqrt[6]{n^6+6n^5}-\sqrt{n^2+2n})}=\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}{(\sqrt[3]{n^6+6n^5}-(n^2+2n))}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/1/3713a1820884df01bc15b3148d0f7ce382.png "$\lim_{n\to\infty}{n(\sqrt[6]{n^6+6n^5}-\sqrt{n^2+2n})}=\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}{(\sqrt[3]{n^6+6n^5}-(n^2+2n))}$")
Ага. Кажется, таки разделили и частично предел вычислили.
Умножение на неполный квадрат суммы тоже результата не было.
А что помешало? Там в числителе все радикалы после второго умножения и деления должны были исчезнуть. Раскрыть скобки, привести подобные члены и делить числитель со знаменателем на старшую степень.
.
![$\lim_{n\to\infty}{n(\sqrt[6]{n^6+6n^5}-\sqrt{n^2+2n})}=\frac{1}{3}\cdot\lim_{n\to\infty}({\sqrt{(1+\frac{6}{n}}-\sqrt{(1+\frac{2}{n})^3}\cdot{n^2}})=\frac{1}{6}\cdot\lim_{n\to\infty}((1+\frac{6}{n}-1-\frac{6}{n}-\frac{12}{n^2}-\frac{8}{n^3}})\cdot{n^2})=-2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/1/e014135f5f61f23f7b036fcf97e0052f82.png "$\lim_{n\to\infty}{n(\sqrt[6]{n^6+6n^5}-\sqrt{n^2+2n})}=\frac{1}{3}\cdot\lim_{n\to\infty}({\sqrt{(1+\frac{6}{n}}-\sqrt{(1+\frac{2}{n})^3}\cdot{n^2}})=\frac{1}{6}\cdot\lim_{n\to\infty}((1+\frac{6}{n}-1-\frac{6}{n}-\frac{12}{n^2}-\frac{8}{n^3}})\cdot{n^2})=-2$")