Чистые и смешанные состояния

[xprwt]

Добрый день
Формулирую задачу
Имеется одно из четырех состояний Белла:

${\left| {{\Phi ^ \pm }} \right\rangle _{st}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\left| {{0_s}} \right\rangle \otimes \left| {{0_t}} \right\rangle \pm \left| {{1_s}} \right\rangle \otimes \left| {{1_t}} \right\rangle )$

${\left| {{\Psi ^ \pm }} \right\rangle _{st}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\left| {{0_s}} \right\rangle \otimes \left| {{1_t}} \right\rangle \pm \left| {{1_s}} \right\rangle \otimes \left| {{0_t}} \right\rangle )$

То есть имеется пара кубитов (конкретно определимся что это фотоны) находящаяся в перепутанном состоянии и описываемую одной из четырёх возможных волновых функции.
Для конкретики возьмём пару описываемую вот такой волновой функцией:

${\left| {{\Phi ^ + }} \right\rangle _{st}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\left| {{0_s}} \right\rangle \otimes \left| {{0_t}} \right\rangle + \left| {{1_s}} \right\rangle \otimes \left| {{1_t}} \right\rangle )$

Соответственно матрица плотности для данной волновой функции следующая:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&0&0&{\frac{1}{2}} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&0&0&{\frac{1}{2}} \end{array}} \end{array}} \right)$

Понятно, что поскольку система замкнута, состоит из двух объектов микромира и эти объекты связаны квантовой сцепленностью то эта система описывается чистым состоянием.
Теперь ситуация меняется:
Рассматривается система состоящая из фотона $s$ входящего в рассмотренную выше систему и фотон ${t^'}$ ранее в эту систему не входивший и не находящийся в квантовой сцепленности ни с фотоном $s$ ни с фотоном $t$. При этом фотон $t$ из рассмотрения исключается – то есть «замкнутой» при данном рассмотрении является система состоящая из фотонов $s$ и ${t^'}$ . Разумеется несмотря на то что фотон $t$ из рассмотрения исключён это не означает что он не продолжает находится в состоянии квантовой сцепленности с фотоном $s$ . Очевидно, что состояние описывающее систему из фотонов $s$ и ${t^'}$ - смешанное.
Мой вопрос: не существует ли всё-таки такой волновой функции (нельзя ли подобрать такой кубит ${t^'}$) описывающей ${t^'}$ что система $s$ - ${t^'}$ всё-таки будет находится в чистом состоянии или же это в принципе невозможно ? Как это можно описать на языке матрицы плотности конкретно для системы состоящей из фотонов $s$ и ${t^'}$ ?

[Munin]

xprwt в сообщении #892097 писал(а):

Мой вопрос: не существует ли всё-таки такой волновой функции (нельзя ли подобрать такой кубит ${t^'}$) описывающей ${t^'}$ что система $s$ - ${t^'}$ всё-таки будет находится в чистом состоянии или же это в принципе невозможно ? Как это можно описать на языке матрицы плотности конкретно для системы состоящей из фотонов $s$ и ${t^'}$ ?

Не существует, это в принципе невозможно.

На языке матрицы плотности это можно описать так. Матрица плотности имеет $n$ собственных чисел. Для чистого состояния всегда одно из этих собственных чисел 1, а все остальные 0. Какое бы чистое состояние ни взять. Собственно, матрица плотности для чистого состояния $|s\rangle$ есть просто $|s\rangle\langle s|,$ и легко видеть, что как оператор - это проектор на прямую, содержащую $|s\rangle.$ Для смешанного состояния это не выполняется: нет ни одного собственного числа, равного 1, и более одного собственного числа не равно 0 (сумма всех собственных чисел равна 1). Таким образом, смешанное состояние отличается от чистого по самой структуре матрицы плотности, и это не может быть изменено какими либо выборами базисов и т. п. подгонками.

-- 31.07.2014 17:41:50 --

Геометрически, можно рассмотреть эллипсоид, полуоси которого равны собственным числам, и направлены по собственным осям. Для чистого состояния такой эллипсоид вырождается в "иглу" - отрезок прямой, а для смешанного - будет "широким" хотя бы в какой-то плоскости (не обязательно "объёмным", поскольку в смеси может участвовать меньше состояний, чем $n$).

[xprwt]

Munin в [url=/post892101.html#p892101]сообщении #892101[/url] писал(а):

Не существует, это в принципе невозможно.

На языке матрицы плотности это можно описать так...

Спасибо. Но как будет выглядеть сама матрица плотности для случая системы $s$ и ${t^'}$ ? Для случая системы из связанных квантовой сцепленностью частиц $s$ и $t$ я матрицу плотности выше привёл. А вот для системы частиц $s$ и ${t^'}$ что-то затрудняюсь составить

[Munin]

Вот от той матрицы, которую вы привели, надо взять частичную матрицу плотности, взяв след по состояниями частицы $t,$ получится

$$\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}&0\\0&\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},$$

и потом домножить её на чистое состояние частицы $t',$ и если это будет $a|0_{t'}\rangle+b|1_{t'}\rangle,$ то получится

$$\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}a^*a&\tfrac{1}{2}b^*a&0&0\\\tfrac{1}{2}a^*b&\tfrac{1}{2}b^*b&0&0\\0&0&\tfrac{1}{2}a^*a&\tfrac{1}{2}b^*a\\0&0&\tfrac{1}{2}a^*b&\tfrac{1}{2}b^*b\end{pmatrix}.$$

[xprwt]

Munin в сообщении #892132 писал(а):

Вот от той матрицы, которую вы привели, надо взять частичную матрицу плотности, взяв след по состояниями частицы $t,$ ... и потом домножить её на чистое состояние частицы $t',$ ...

Тогда такой вопрос.

Допустим у меня матрица плотности для двух квантово сцепленных частиц в чистом состоянии. Их общая матрица плотности удовлетворяет требованиям для чистого состояния. Теперь: а) я беру частичный след от этой матрицы плотности по первой частице; б) беру частичный след от этой матрицы плотности по второй частице. Если я кроннекеровски перемножаю эти две матрицы-частичных следа то исходную матрицу не получаю.

Мой вопрос - это происходит потому что взятие частичного следа эквивалентно квантовому измерению внешним прибором ? И такое квантовое измерение эквивалентно квантовому перепутыванию с измерительным прибором ? То есть - для того чтобы мне получить теперь матрицу плотности удовлетворяющему требованиям для чистого состояния мне необходимо ещё знать квантовое состояние измерительных приборов после акта измерения ?

[Munin]

xprwt в сообщении #916130 писал(а):

Мой вопрос - это происходит потому что взятие частичного следа эквивалентно квантовому измерению внешним прибором ?

Ну, в каком-то смысле эквивалентно. Происходит "забывание" информации о связи между частицами.

xprwt в сообщении #916130 писал(а):

И такое квантовое измерение эквивалентно квантовому перепутыванию с измерительным прибором ? То есть - для того чтобы мне получить теперь матрицу плотности удовлетворяющему требованиям для чистого состояния мне необходимо ещё знать квантовое состояние измерительных приборов после акта измерения ?

Это всё основывается на идее, что измерение есть перепутывание с измерительным прибором. А это пока ещё гипотеза. Зачем вам в это лезть? Пользуйтесь простыми доказанными фактами.

[fraqix]

xprwt в сообщении #916130 писал(а):

Допустим у меня матрица плотности для двух квантово сцепленных частиц в чистом состоянии. Их общая матрица плотности удовлетворяет требованиям для чистого состояния. Теперь: а) я беру частичный след от этой матрицы плотности по первой частице; б) беру частичный след от этой матрицы плотности по второй частице. Если я кроннекеровски перемножаю эти две матрицы-частичных следа то исходную матрицу не получаю.

А вы и не должны её получить. Если по простому, то состояние всей совокупной системы -- это состояние первой "частицы" + состояние второй "частицы" + корреляции между ними. Взяв частичный след, вы убили эти корреляции.

Цитата:

Мой вопрос - это происходит потому что взятие частичного следа эквивалентно квантовому измерению внешним прибором?

Нет, не эквивалентно, это вообще разные вещи. Взятие частичного следа даёт вам усреднение по степеням свободы другой частицы. Т.е. это то состояние, которое по факту вам доступно (есть для вас), если предположить, что про вторую "частицу" (подсистему) вы ничего не знаете и можете воздействовать только на степени свободы первой частицы. Точный классический аналог частичного следа -- это то, когда вы берёте плотность вероятности совместного распределения нескольких случайных величин и суммируете его ("усредняете") по некоторым переменным (случайным величинам), получая частичное распределение (маргинальное распределение) -- в этом случае вы тоже полностью "забываете" про те степени свободы, по которым "усреднили".