Корни многочленов в поле.

[Braga]

nnosipov в сообщении #891604 писал(а):

Braga в сообщении #891603 писал(а):

и пусть $U$ - нормальное расширение

Нормальное расширение какого поля?

$T$ поле, $f(x) \in T[x]$, $V_1, V_2$ поля разложения многочлена $f(x)$. $U$ - нормальное расширение $T$ такое, что $V_1 \subset N, T \subset N$ для некоторого поля N.

[nnosipov]

Braga в сообщении #891606 писал(а):

$T$ поле, $f(x) \in T[x]$, $V_1, V_2$ поля разложения многочлена $f(x)$. $U$ - нормальное расширение $T$ такое, что $V_1 \subset N, T \subset N$ для некоторого поля N.

Так. И что Вас смущает?

[Braga]

В определении нормального расширения говориться, что если неприводимый многочлен имеет в нём хотя бы 1 корень, то имеет в нём все корни. Пусть $f(x)$ этот самый неприводимый многочлен, имеющий все корни в U. Поскольку в одном поле может быть только n корней, то в U лежат либо корни $a_i$ для всех значений i, либо $b_i$ для всех значений i, и $a_i$, и $b_i$ одновременно лежать не могут, так? Пусть теперь V - алгебраическое расширение такое, что $V_2 \subset V$, а $\varphi: U \longarrow V$ Т-изоморфизм. В этом случае почему действие изоморфизма на элемент а будет приводить к элементу из U?

[nnosipov]

Ничего не понял. Давайте отложим до завтра, у меня давно за полночь.

[Braga]

Попробую ещё раз сформулировать вопрос:

Теорема звучит так: пусть U - нормальное расширение некоторого поля Т, V - алгебраическое замыкание Т и $\varphi : U \longrightarrow V$ Т-изоморфизм. Тогда $\varphi$ является автоморфизмом U.

В доказательстве говорят, что если $\alpha$ - корень некоторого неприводимого многочлена $f(x) \in T[x]$, то $\varphi (\alpha)$ тоже является корнем этого многочлена и следовательно лежит в U. Мне непонятно почему из этого следует, что $\varphi (\alpha)$ лежит именно в U, а не каком-либо другом нормальном расширении U' изоморфном U.

Нормальное расширение всегда является полем разложения для какого-либо множества многочленов из $T[x]$. Обозначим М множество многочленов, для которого U является полем разложения. Согласно другой теореме любое другое поле разложение многочленов множества М будет Т-изоморфно U. Пусть таким полем разложения будет U'. Тогда существует T-изоморфизм $\xi: U' \longrightarrow U$. Поскольку U' Т-изоморфно U, то существует изоморфизм между U' и V. Проведём аналогичные рассуждения как в доказательстве теоремы и приходим к тому, что изоморфизм U' на V это автоморфизм, значит U'=V. Такими же рассуждениями приходим к тому, что и изоморфизм между U и V это тоже автоморфизм и следовательно U=V=U', что есть противоречие с предположением, что существует ещё одно поле разложения многочленов множества М. Но ведь доказывается, что ещё одно такое поле существовать может.

[nnosipov]

Braga в сообщении #891874 писал(а):

Теорема звучит так: пусть U - нормальное расширение некоторого поля Т, V - алгебраическое замыкание Т и $\varphi : U \longrightarrow V$ Т-изоморфизм. Тогда $\varphi$ является автоморфизмом U.

Здесь предполагается, что $U \subset V$.

Braga в сообщении #891874 писал(а):

В доказательстве говорят, что если $\alpha$ - корень некоторого неприводимого многочлена $f(x) \in T[x]$, то $\varphi (\alpha)$ тоже является корнем этого многочлена и следовательно лежит в U. Мне непонятно почему из этого следует, что $\varphi (\alpha)$ лежит именно в U, а не каком-либо другом нормальном расширении U' изоморфном U.

А про $\alpha$ что известно? Считается ли, что $\alpha \in U$? Если да, то утверждение следует из нормальности $U$.

[Braga]

nnosipov в сообщении #891877 писал(а):

Braga в сообщении #891874 писал(а):

Теорема звучит так: пусть U - нормальное расширение некоторого поля Т, V - алгебраическое замыкание Т и $\varphi : U \longrightarrow V$ Т-изоморфизм. Тогда $\varphi$ является автоморфизмом U.

Здесь предполагается, что $U \subset V$.

Подождите, но если бы $U \subset V$, а между ними существовал изоморфизм, то дело бы ни за чем не стояло, ведь это сразу означало бы, что этот изоморфизм - автоморфизм U на себя, тем более что такого условия я в теореме не увидел.

nnosipov в сообщении #891877 писал(а):

А про $\alpha$ что известно? Считается ли, что $\alpha \in U$? Если да, то утверждение следует из нормальности $U$.

Да, $\alpha$ - элемент U. Прочтите, пожалуйста, пример, который я вам привел в предыдущем сообщении с изоморфизмами двух нормальных расширений.

[nnosipov]

Braga в сообщении #891881 писал(а):

Подождите, но если бы $U \subset V$, а между ними существовал изоморфизм, то дело бы ни за чем не стояло, ведь это сразу означало бы, что этот изоморфизм - автоморфизм U на себя, тем более что такого условия я в теореме не увидел.

Речь идёт о $T$-изоморфном вложении $U$ в $V$. Нужно показать, что если $U$ нормально, то $\varphi(U)=U$. При этом всё же предполагается, что $U \subset V$.

А откуда эта теорема? Приведите источник. Возможно, я чего-то не понимаю.

[Braga]

Источник на чешском, учебник лежит передо мной. И да, вы были правы, $U \subset V$, это я неправильно прочитал. Но тогда меня интересует почему из того, что между U и V существует Т-изоморфизм нельзя сразу сказать, что это Т-автоморфизм? Зачем для этого обосновывать наличием корней и т. д.?

[nnosipov]

Braga в сообщении #891889 писал(а):

Но тогда меня интересует почему из того, что между U и V существует Т-изоморфизм нельзя сразу сказать, что это Т-автоморфизм?

Если $U$ не является нормальным расширением $T$, то такое утверждение будет неверным. Контрпример: $T=\mathbb{Q}$, $U=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, $V=\mathbb{C}$, $\varphi(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4})=a+b\varepsilon\sqrt[3]{2}+c\varepsilon^2\sqrt[3]{4}$, где $\varepsilon=-1/2+i\sqrt{3}/2$.

[Braga]

nnosipov в сообщении #891890 писал(а):

Braga в сообщении #891889 писал(а):

Но тогда меня интересует почему из того, что между U и V существует Т-изоморфизм нельзя сразу сказать, что это Т-автоморфизм?

Если $U$ не является нормальным расширением $T$, то такое утверждение будет неверным. Контрпример: $T=\mathbb{Q}$, $U=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, $V=\mathbb{C}$, $\varphi(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4})=a+b\varepsilon\sqrt[3]{2}+c\varepsilon^2\sqrt[3]{4}$, где $\varepsilon=-1/2+i\sqrt{3}/2$.

Но это отображение ведь не сюръективное, значит не является изоморфизмом

[AV_77]

Для полей примеры строить достаточно сложно, но вы легко найдете пример группы, которая изоморфна своей собственной подгруппе. Так что из существования изоморфизма, вообще говоря, не следует, что этот изоморфизм является автоморфизмом.

[nnosipov]

Braga в сообщении #891894 писал(а):

Но это отображение ведь не сюръективное, значит не является изоморфизмом

Здесь, по-моему, издержки терминологии: когда говорят $T$-изоморфизм $\varphi:U \to V$, имеют в виду $T$-изоморфное вложение в $V$, т.е. $T$-изоморфизм между $U$ и $\varphi(U) \subset V$.