Четыре точки

[kikik]

Докажите, что для любых четырех точек
на плоскости некоторое расстояние между двумя из этих точек
не является нечетным целым числом.

[nnosipov]

Это станет очевидным, если взглянуть на пространственную формулу Герона по модулю $4$.

[ИСН]

Определитель Кэли-Менгера называется. По модулю 8 он будет 4, а надо 0.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #891725 писал(а):

Определитель Кэли-Менгера называется.

Не знал. А почему 4? У меня 2 получилось.

[ИСН]

Потому что определитель 5 на 5, где на диагонали нули, а остальные единицы.
(Чтобы из него получить собственно объём, там надо делить на довольно много, и корень ещё, ну да это неважно.)

[nnosipov]

Понял, у меня в формуле из определителя одна двойка уже вытащена.

[scwec]

Интересно, что этот фокус по модулю 8 работает также для 5 точек в $\mathbb{R}^3$, для 6 точек в $\mathbb{R}^4$, для 7 точек в $\mathbb{R}^5$, а для 8 точек в $\mathbb{R}^6$ нет. Надо менять модуль, если утверждение о невозможности нечетности всех расстояний между точками верно в этом случае.