2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 20:50 
Хорошо, пойдём по порядку.
Я хочу доказать, что $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x} dx$ - расходящийся?
Очевидно, что $\int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x} dx$ - расходится, этого достаточно, чтобы утверждать, что интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x} dx$ расходится?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 21:10 
Вы почему книжки не читаете? Если у интеграла несколько особых точек, то его сходимость/расходимость определяется сл. образом: он разбивается по аддитивности на несколько по таким промежуткам интегрирования, каждый их которых содержит ровно одну особенность (обычно делают на одном из концов промежутка). Получается сумма несобств. интегралов. Так вот, исходный интеграл является сходящимся только в том случае, когда сходится каждый из интегралов в этой сумме. И соответственно, для расходимости достаточно расходимости хотя бы одного.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 21:19 
Аватара пользователя
main.c, давайте ещё кое-что проясним (хотя Otta, кажись, уже весьма чётко обрисовала ситуацию, не отнять и не прибавить, но мы ведь решили пройтись от начала до конца неспешным шагом). Насколько вы знакомы со следующими понятиями:
а) аддитивность интеграла Римана;
б) особые точки функции?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 21:29 
Otta в сообщении #891574 писал(а):
Вы почему книжки не читаете? Если у интеграла несколько особых точек, то его сходимость/расходимость определяется сл. образом: он разбивается по аддитивности на несколько по таким промежуткам интегрирования, каждый их которых содержит ровно одну особенность (обычно делают на одном из концов промежутка). Получается сумма несобств. интегралов. Так вот, исходный интеграл является сходящимся только в том случае, когда сходится каждый из интегралов в этой сумме. И соответственно, для расходимости достаточно расходимости хотя бы одного.

Огромное спасибо! Я именно этого ответа и добивался, так как не смог нигде найти того, что Вы только что написали. Везде в основном пишут про интегралы с 1, максимум 2 особыми точками ($-\infty$ и $+\infty$), в моём случае их было 3 штуки.
Aritaborian в сообщении #891577 писал(а):
main.c, давайте ещё кое-что проясним (хотя Otta, кажись, уже весьма чётко обрисовала ситуацию). Насколько вы знакомы со следующими понятиями:
а) аддитивность интеграла Римана;
б) особые точки функции?

a). Если функции $f(x)$ интегрируема на промежутках $[a, b]$ и $[b, c]$, то она интегрируема и на промежутке $[a, c]$, причём $\int\limits_a^c f(x)dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_b^c f(x)dx$

-- 29.07.2014, 22:20 --

Otta, не знаю на какой способ Вы меня хотели подтолкнуть вопросом "какие ещё признаки сравнения Вы знаете?", но я решил задачу всё-таки неравенствами, недеюсь, что в это раз никто не забракует моё решение :-) .
$ \forall x \in (0, 1): \ 0 \geq \frac{x}{x-1} \geq \frac{1}{\ln x}$
Интеграл $\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{x-1} dx$ - расходящийся, а значит $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\ln x} dx$ тоже расходящийся.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 22:52 
Ну если неравенство умеете доказывать, то и флаг Вам в руки. :)
Признак сравнения Вы назвали - предельный, в таких случаях, чем мучительно стряпать неравенство (да еще в неизвестную сторону), проще смотреть на эквивалентности.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 23:11 
Otta в сообщении #891608 писал(а):
Ну если неравенство умеете доказывать, то и флаг Вам в руки. :)
Признак сравнения Вы назвали - предельный, в таких случаях, чем мучительно стряпать неравенство (да еще в неизвестную сторону), проще смотреть на эквивалентности.

Так как я уже решил это задание, то не могли бы Вы подробнее про свой способ решения рассказать, а лучше показать на данном примере. Думаю мне это пригодится

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 23:14 
Не, давайте-ка сперва сами попробуйте. Признак у Вас есть, я надеюсь, не в голове, так в конспектах, исследуйте для начала на сходимость интеграл $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 23:38 
Otta в сообщении #891619 писал(а):
Не, давайте-ка сперва сами попробуйте. Признак у Вас есть, я надеюсь, не в голове, так в конспектах, исследуйте для начала на сходимость интеграл $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$.

$\frac{dx}{\sqrt{\sin x}} \sim \frac{dx}{\sqrt x}$, при $x \to 0$, $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt x} $ - сходится, а значит и искомый интеграл тоже сходится.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 23:49 
Вот, очень хорошо. Только не надо $dx$ писать в числителе)) все-таки там единица.
Еще надо?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение29.07.2014, 23:54 
Всё, я понял Вас, $\frac{1}{\ln x} \sim \frac{1}{x-1}$, $\int\limits_0^1\frac{1}{x-1}$ - расходится, а значит и второй интеграл расходится. Спасибо.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение30.07.2014, 16:34 
А как быть с таким интегралом?
$\int\limits_0^1 x^p \ln^q \frac{1}{x} dx = \int\limits_0^\frac{1}{2} x^p \ln^q \frac{1}{x} dx + \int\limits_\frac{1}{2}^1 x^p \ln^q \frac{1}{x} dx  $
Рассмотрим сначала при каких $q$ он расходится. При $q < 0$, точка 1 является особой.
$x^p \ln^q \frac{1}{x} \sim (\frac{1}{x} - 1)^q, \ x \to 1$
Остаётся рассмотреть при каких $q$,$\int\limits_\frac{1}{2}^1(\frac{1}{x} - 1)^q dx$ расходится. И вот тут у меня идеи заканчиваются. Я догадываюсь, что при $ q \leq -1$ он расходится, но как это проверить?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение30.07.2014, 16:37 
Во-первых, смотрите на все особые точки и все варианты $p,q$, начав с простых случаев, конечно. Во-вторых, Вам так дорога эта дробь в аргументе логарифма?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение30.07.2014, 16:39 
Otta в сообщении #891864 писал(а):
Во-первых, смотрите на все особые точки и все варианты $p,q$, начав с простых случаев, конечно. Во-вторых, Вам так дорога эта дробь в аргументе логарифма?

Вы имеете в виду вынести -1 из под логарифма?
Конечно я буду рассматривать все точки, но их удобнее мне кажется по отдельности рассмотреть, разве не так?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение30.07.2014, 16:44 
Это когда как. ) Ну, неважно, смотрите, там увидите сами.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл.
Сообщение30.07.2014, 17:11 
Otta в сообщении #891867 писал(а):
Это когда как. ) Ну, неважно, смотрите, там увидите сами.

Вот вынес я -1 из под логарифма:
$\int\limits_0^1 x^p \ln^q \frac{1}{x} dx = \int\limits_0^1 x^p (-\ln x)^q dx$
$ x^p (-\ln x)^q \sim (1-x)^q, \quad x \to 1-$
$\int (1-x)^q dx = -\frac{1}{q+1}(1-x)^{q+1}$, при $ q \neq -1$
$\int (1-x)^q dx = -\ln(1-x)$, при $ q = -1$
Из этого следует, что при $q \leq -1$ интеграл расходится. Теперь я рассмотрю случаи для $p$. Вот эта часть рассуждений верна?

 
 
 [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group