Простой вопрос

[vlad_light]

Shtorm в сообщении #891340 писал(а):

Значит нуль уже вылетает из области определения. Согласны?

Нет. Он вылетает не по этому.

Shtorm в сообщении #891340 писал(а):

Теперь дальше. Давайте ограничимся только действительными значениями $x$ и $y$. Согласны?

Опять нет. ТС, вспомнив о комплексных числах, явно намекнул, что он не собирается ограничиваться действительной частью. Я привёл пример построения функции, которая удовлетворяет его требованиям и не отличается от тождественной.

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #891182 писал(а):

чему равна область определения функции $y=\sqrt x$

У меня она определена только в одной точке: $-2$.

[BoBuk]

Странно... Я вообще на каком форуме нахожусь? На научном форуме МГУ или где?

[Nemiroff]

BoBuk в сообщении #891384 писал(а):

Я вообще на каком форуме нахожусь? На научном форуме МГУ или где?

"Или где" Ещё вопросы?

[BoBuk]

vlad_light в сообщении #891381 писал(а):

Опять нет. ТС, вспомнив о комплексных числах, явно намекнул, что он не собирается ограничиваться действительной частью.

Вот именно!...
Мне этого не может запретить даже флагман нашей родной советской науки.

[Deggial]

BoBuk, укажите явно область определения рассматриваемых выражений для точности вопроса.
В противном случае тема будет снесена в Карантин.
И убедительная просьба не увеличивать флуд фразами типа:

BoBuk в сообщении #891384 писал(а):

Странно... Я вообще на каком форуме нахожусь? На научном форуме МГУ или где?

BoBuk в сообщении #891205 писал(а):

Не понял?...
Это действительно форум МГУ dxdy? Я не ошибся?

[Xaositect]

Собственно, о чем спор на три страницы, в чем проблема?
Если рассматриваются действительные $a$ и $b$, то $(a^{1/b})^b = a$ для всех $a,b$ из области определения, т.е. $a > 0$, $b\neq 0$.
Если рассматриваются комплексные, то возведение комплексного числа в комплексную степень - многозначная функция, и $(a^{1/b})^b = ae^{2\pi k b}, k\in\mathbb{Z}$. Если брать основное значение логарифма в определении комплексной степени, то получится $k = - \left[\frac{\mathop{\mathrm{Im}} \frac{\ln a}{b}}{2 \pi}\right]$, если я не ошибся в арифметике.

[Shtorm]

BoBuk в сообщении #891387 писал(а):

vlad_light в сообщении #891381 писал(а):

Опять нет. ТС, вспомнив о комплексных числах, явно намекнул, что он не собирается ограничиваться действительной частью.

Вот именно!...
Мне этого не может запретить даже флагман нашей родной советской науки.

Ну тогда Вы сами себе противоречите. Поскольку изначально написали:

BoBuk в сообщении #890817 писал(а):

......
А если так, то сравниваем два графика функций
$f(x) = \left( x^\frac{1}{x}\right)^x$
и
$f(x) = x$

Вы строите графики действительных функций.

Xaositect в сообщении #891399 писал(а):

Если рассматриваются действительные $a$ и $b$, то $(a^{1/b})^b = a$ для всех $a,b$ из области определения, т.е. $a > 0$, $b\neq 0$.

А я об этом в самом начале написал ТС:

Shtorm в сообщении #890833 писал(а):

$$\left(x^{1/x}\right)^x=x,&\text{если $x>0$;}$$

[vlad_light]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #891411 писал(а):

Вы строите графики действительных функций.

Определение графика знаете?

[Otta]

Xaositect в сообщении #891399 писал(а):

$(a^{1/b})^b = ae^{2\pi k b}, k\in\mathbb{Z}$.

Точно, это я косячу. Еще ведь думаю, куда ж логарифмическая точка ветвления денется, не должна ведь. Только у меня почему-то получилось $(a^{1/b})^b = ae^{2\pi k bi}, k\in\mathbb{Z}$. Нет?

[Xaositect]

Otta в сообщении #891458 писал(а):

Только у меня почему-то получилось $(a^{1/b})^b = ae^{2\pi k bi}, k\in\mathbb{Z}$. Нет?

Да, я пропустил мнимую единицу.

[Otta]

Ага, спасибо. :)

[Shtorm]

Ну, мне кажется ТС разобрался с функцией, значения которой принадлежат действительным числам. Ещё раз по поводу фразы

Shtorm в сообщении #890833 писал(а):

Просто таковы свойства функций - для вычисления значения функции в точке, нужно проделать всю последовательность операций, записанных в правой части функции

поясню, а то у некоторых она вызывает вопросы:

Если, например, задана функция $y=\left(\left(x^{\frac{1}{x}}\right)^x\right)^{\frac{1}{x-1}}$ то для нахождения её области определения, необходимо учитывать не только область определения функции $\frac{1}{x-1}$, но и область определения $\frac{1}{x}$, а то может бы ТС показалось, что $\frac{1}{x}$ и $x$ сразу можно сократить, и брать только область определения $\frac{1}{x-1}$. Ничего подобного, нужно учитывать всё! Вот в этом смысле я и говорил, проделывать всю последовательность операций. А если уж сокращать, то правильно. Но выше мы об этом писали. Смотрю, как раз на сайте ТС подобные показательно-степенные функции записаны.

Теперь на будущее, BoBuk, если Вы пишете функцию $f(x)$ и не указываете, какой области принадлежат $x$ и $y$ то подразумевается, что $x$ и $y$ принадлежат действительной области, в подавляющем большинстве случаев. Так, что если пишете такое обозначение и подразумеваете комплекснозначную функцию, то об этом нужно явно написать в условии. Но лучше для комплекснозначных функций применять обозначение $f(z)$ или $w=f(z)$.

[Aritaborian]

(Бу-бу-бу)

Теперь на будущее, Shtorm. Если вы пишете «пишите», а подразумеваете «пишете», грош цена вам и любым вашим разъяснениям. Позорище.

[Shtorm]

Aritaborian, спасибо исправил.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Вот только больше так не делайте, окей? ;-)