Корни многочленов в поле.

[Braga]

Хорошо, теперь тогда меня интересует пример подобных двух полей разложения. Я так понимаю, они должны обладать разными структурами

[nnosipov]

Вот такой пример. Рассмотрим $f(x)=x^2+2 \in \mathbb{Z}_7[x]$ (многочлен над полем вычетов по модулю $7$). Пусть $V_1=\{a+b\alpha_1:a,b \in \mathbb{Z}_7\}=\mathbb{Z}_7[x]/(x^2+x+6)$ ($\alpha_1 \in V_1$ --- корень уравнения $x^2+x+6=0$). Аналогично, $V_2=\{a+b\alpha_2:a,b \in \mathbb{Z}_7\}=\mathbb{Z}_7[x]/(x^2+1)$ ($\alpha_2 \in V_2$ --- корень уравнения $x^2+1=0$). Проверьте, что $f(x)$ разлагается на линейные множители как над $V_1$, так и над $V_2$; найдите эти разложения; постройте явно изоморфизм между $V_1$ и $V_2$.

[AV_77]

Такой стандартный пример. Имеем вложение $\mathbb{Q} \subset \mathbb{C}$. Следовательно, можно рассмотреть подполе $\mathbb{Q}(i)$, которое получается из $\mathbb{Q}$ присоединением мнимой единицы. С другой стороны, рассмотрим факторкольцо $\mathbb{Q}[x] / (x^2+1)$. Это факторкольцо мнимой единицы $i$ уже не содержит, вместо нее есть класс вычетов $x + f(x) (x^2+1)$. Так что поля $\mathbb{Q}(i)$ и $\mathbb{Q}[x] / (x^2+1)$ разные, но являются полями разложения одного и того же многочлена $x^2+1$.

[Braga]

nnosipov в сообщении #890610 писал(а):

Вот такой пример. Рассмотрим $f(x)=x^2+2 \in \mathbb{Z}_7[x]$ (многочлен над полем вычетов по модулю $7$). Пусть $V_1=\{a+b\alpha_1:a,b \in \mathbb{Z}_7\}=\mathbb{Z}_7[x]/(x^2+x+6)$ ($\alpha_1 \in V_1$ --- корень уравнения $x^2+x+6=0$). Аналогично, $V_2=\{a+b\alpha_2:a,b \in \mathbb{Z}_7\}=\mathbb{Z}_7[x]/(x^2+1)$ ($\alpha_2 \in V_2$ --- корень уравнения $x^2+1=0$). Проверьте, что $f(x)$ разлагается на линейные множители как над $V_1$, так и над $V_2$; найдите эти разложения; постройте явно изоморфизм между $V_1$ и $V_2$.

Ни в $V_1$, ни в $V_2$ не нашёл корней, если я правильно понимаю, то корни должны были бы быть в аналогичном поле, но если бы $\alpha_1$ был корнем уравнения $x^2+3x+6=0$, а $\alpha_2$, например, корнем $x^2+6x+4=0$

AV_77 в сообщении #890650 писал(а):

Такой стандартный пример. Имеем вложение $\mathbb{Q} \subset \mathbb{C}$. Следовательно, можно рассмотреть подполе $\mathbb{Q}(i)$, которое получается из $\mathbb{Q}$ присоединением мнимой единицы. С другой стороны, рассмотрим факторкольцо $\mathbb{Q}[x] / (x^2+1)$. Это факторкольцо мнимой единицы $i$ уже не содержит, вместо нее есть класс вычетов $x + f(x) (x^2+1)$. Так что поля $\mathbb{Q}(i)$ и $\mathbb{Q}[x] / (x^2+1)$ разные, но являются полями разложения одного и того же многочлена $x^2+1$.

Но ведь данное фактор-кольцо не является расширением поля $\mathbb{Q}$.

[nnosipov]

Braga в сообщении #890661 писал(а):

Ни в $V_1$, ни в $V_2$ не нашёл корней

Они там есть. Как именно искали?

Braga в сообщении #890661 писал(а):

Но ведь данное фактор-кольцо не является расширением поля $\mathbb{Q}$.

В разумном смысле является. В том же смысле поле комплексных чисел является расширением поля вещественных чисел.

[Braga]

nnosipov в сообщении #890666 писал(а):

Braga в сообщении #890661 писал(а):

Ни в $V_1$, ни в $V_2$ не нашёл корней

Они там есть. Как именно искали?

Braga в сообщении #890661 писал(а):

Но ведь данное фактор-кольцо не является расширением поля $\mathbb{Q}$.

В разумном смысле является. В том же смысле поле комплексных чисел является расширением поля вещественных чисел.

Я полагал, если корень из $V_1$, то он будет вида $a+b \alpha$ и подставив в исходный многочлен $(a+b\alpha)^2+2=a^2+2ab \alpha + b^2 \alpha +2$, должно быть возможным при определенных а, b превратить данное выражение в $\alpha^2+\alpha+6$, о котором мы точно знаем, что оно равно нулю. Но в поле вычетов по модулю я не нашёл таких a, b, чтобы это стало возможным.

[nnosipov]

Braga в сообщении #890671 писал(а):

при определенных а, b превратить данное выражение в $\alpha^2+\alpha+6$,

Вот здесь ошибка: если бы удалось превратить, например, в $2(\alpha^2+\alpha+6)$, разве не получился бы тоже ноль?

[Braga]

Во втором поле я нашёл только один корень $4\alpha$, потому как $(a+b\alpha)^2+2=a^2+2ab\alpha+b^2 \alpha^2 +2$, то $a$ должно быть кратно 7, значит оба корня могут быть только вида $b \alpha$, но из $x^2+2=(4\alpha - x)(b\alpha - x)=4b \alpha - x \alpha(4+b)+x^2$ следует, что такого b не существует, следовательно корень в этом поле только один.
В любом случае спасибо за разъяснения.

[nnosipov]

Braga в сообщении #890708 писал(а):

следовательно корень в этом поле только один.

Это редко бывает, чтобы у квадратного уравнения был один корень. Ну да ладно, додумывайте потихоньку, та теорема об изоморфизме действительно вещь неочевидная.

[Braga]

Уважаемый, nnosipov, ещё пара вопросов :)

Ещё раз вернулся к примеру, предложенному Вами. Пытаясь найти корни уравнения $x^2+x+6=0$ в поле $V_2=\lbrace a+b\alpha_2 \rbrace$, нашёл только один корень, который равен $3+1 \alpha_2$. Полностью Вам не поверил что это тот самый пример двух разных полей, которые содержат корни исходного уравнения, поэтому решил перепроверить и предположил, что может быть на самом деле $V_1=V_2$ и элемент $\alpha_1$ можно с успехом выразить через $\alpha_2$, но через имеющийся корень оказывается нельзя выразить $\alpha_1$ через $\alpha_2$ так, чтобы при соответствующей подстановке в корнях уравнения $x^2+2=0$ в одном поле получить те же два корня, но уже в другом поле. То есть как оказалось, эти два поля не равны(или может я плохо искал второй корень уравнения $x^2+x+6=0$ в поле $V_2=\lbrace a+b\alpha_2 \rbrace$?).

Но дальше, что если создать поле $Z_7 (\alpha_1,\alpha_2)$, если этому ничего не мешает, не следует ли из этого факт, что имеется 4 разных корня в одном поле, что есть невозможно? То есть тогда вопрос почему данная попытка расширения поля невозможна?

И тогда ещё вопрос напрашивается: сколько может быть различных Т-изоморфных полей разложения многочлена?


Ещё вопрос по той же теме, но теперь уже о нормальном расширении. В доказательстве теоремы о том, что если нормальное расширение поля Т Т-изморфно с алгебраическим замыканием поля Т, то этот изоморфизм есть изоморфизм нормального расширения на себя, заводят этот самый изоморфизм, скажем, $\varphi$ и раз $\alpha$ - корень некоторого неприводимого многочлена, то $\varphi \alpha$ - тоже является корнем этого многочлена и следовательно лежит в нормальном расширении. Из чего следует что лежит в нормальном расширении? Разве не может этот корень быть из некоторого другого расширения поля, которое тоже имеет этот элемент корнем данного многочлена, поскольку это отображение - изоморфизм?

[nnosipov]

Braga в сообщении #891582 писал(а):

Пытаясь найти корни уравнения $x^2+x+6=0$ в поле $V_2={a+b\alpha_2}$, нашёл только один корень, который равен $3+1 \alpha_2$.

Нет, их там два.

Braga в сообщении #891582 писал(а):

Полностью Вам не поверил что это тот самый пример двух разных полей, которые содержат корни исходного уравнения, поэтому перепроверил и предположил, что может быть на самом деле $V_1=V_2$ и элемент $\alpha_1$ можно с успехом выразить через $\alpha_2$, но через имеющийся корень оказывается нельзя выразить $\alpha_1$ через $\alpha_2$ так, чтобы при соответствующей подстановке в корнях уравнения $x^2+2=0$ в одном поле получить те же два корня, но уже в другом поле. То есть как оказалось, эти два поля не равны(или может я плохо искал второй корень уравнения $x^2+x+6=0$ в поле $V_2={a+b\alpha_2}$?).

$V_1$ не равно $V_2$, но они изоморфны. Надо понять, какому элементу из $V_2$ соответствует $\alpha_1$.

-- Ср июл 30, 2014 02:12:27 --

Braga в сообщении #891582 писал(а):

что если создать поле $Z_7 (\alpha_1,\alpha_2)$

Как Вы его собираетесь создать? Вспомните про смысл обозначения $T(a_1,\dots,a_n)$.

-- Ср июл 30, 2014 02:13:58 --

Braga в сообщении #891582 писал(а):

Из чего следует что лежит в нормальном расширении?

Из определения нормального расширения.

[Braga]

nnosipov в сообщении #891589 писал(а):

Как Вы его собираетесь создать? Вспомните про смысл обозначения $T(a_1,\dots,a_n)$.

Согласно определению: пусть каждый элемент $T(\alpha_1, \alpha_2) $ будет вида $\frac{f(\alpha_1,\alpha_2)}{g(\alpha_1,\alpha_2)}$ для каких-либо многочленов $f(x_1,x_2), g(x_1,x_2) \in Z_7 [x_1,y_1]$ где многочлен $g(\alpha_1,\alpha_2)\neq 0$. Почему такое задание поля не верно?

[nnosipov]

Что такое, например, $\alpha_1+\alpha_2$?

[Braga]

nnosipov в сообщении #891589 писал(а):

Braga в сообщении #891582 писал(а):

Из чего следует что лежит в нормальном расширении?

Из определения нормального расширения.

В определении сказано, что если неприводимый многочлен имеет один корень в нормальном расширении, то имеет в нём все свои корни, то есть максимально n разных корней. Я имел в виду здесь, что допустим $V_1, V_2$ какие-то два разные поля разложения некоторого многочлена и пусть $U$ - нормальное расширение, а так же пусть $V_1 \subset N$, $U \subset N$ некоторого поля N. В $V_1$ и в $V_2$ содержится по n корней, то есть формально 2n взаимно разных корней $a_1,a_2,...,a_n, b_1, b_2,...,b_n$ пусть и не лежащих в одном поле. Из определения нормального расширения ведь не следует что все $a_i, b_i$ лежат в $U$, поскольку они из разных расширений. То есть в U в любом случае лежит всего n корней.

-- 29.07.2014, 23:40 --

nnosipov в сообщении #891598 писал(а):

Что такое, например, $\alpha_1+\alpha_2$?

но ведь операции $a+\alpha_1$ и $a\alpha$ тоже формально не определены

[nnosipov]

Braga в сообщении #891603 писал(а):

и пусть $U$ - нормальное расширение

Нормальное расширение какого поля?

-- Ср июл 30, 2014 02:43:52 --

Braga в сообщении #891603 писал(а):

но ведь операции $a+\alpha_1$ и $a\alpha$ тоже формально не определены

Определены.