Предел от максимума vs. Максимум от предела

[Kenelm]

Уважаемые коллеги, помогите разобраться в следующем вопросе.
Пусть задана последовательность функций: $F_1(x), F_2(x), \ldots$, где $x \in [0,1]$.
Причем $F_i(x) \geq 0$и ограничена сверху. Сравниваются две величины:
1. $a = \lim\limits_{i \rightarrow \infty}\max\limits_{x} F_i(x)$
2. $b = \max\limits_{x} \lim\limits_{i \rightarrow \infty} F_i(x)$
Интуитивно кажется, что $b \leq a$. Так ли это на самом деле? И, главный вопрос: в каких случаях $a = b$?
Пока мне удалось лишь подобрать несколько конкретных примеров, когда $a = b$ и когда $b < a$, но обобщить не удается. Поиском пользовался весьма активно, но ответа на вопрос пока не нашел...
Заранее благодарю!

[Otta]

Что-то известно дополнительно про функции и характер сходимости?

Если все встреченные пределы существуют, то действительно $b\le a$.

[Kenelm]

Да, известно, что функция непрерывна и дифференцируема, а сходимость - равномерная. Простите, а что такое "встреченные пределы"?

Мне интересно, существуют ли какие либо достаточные условия для того, чтобы $a = b$?

[Otta]

У Вас там два предела в тексте есть. Их существование известно априори?
Для неравенства ни непрерывность, ни равномерность не нужна. Для равенства - надо посмотреть.

[demolishka]

Kenelm в сообщении #890641 писал(а):

Интуитивно кажется, что $b \leq a$. Так ли это на самом деле?

Почему же интуитивно, на самом деле: $F_k(x) \leq G_k=\max\{F_k(x)\}$. Следовательно и в пределе это неравенство верно.

[Kenelm]

demolishka в сообщении #890660 писал(а):

Kenelm в сообщении #890641 писал(а):

Интуитивно кажется, что $b \leq a$. Так ли это на самом деле?

Почему же интуитивно, на самом деле: $F_k(x) \leq G_k=\max\{F_k(x)\}$. Следовательно и в пределе это неравенство верно.

Да, действительно, спасибо! :)

-- 27.07.2014, 17:22 --

Otta в сообщении #890656 писал(а):

У Вас там два предела в тексте есть. Их существование известно априори?

Да, считается, что оно априори известно.

[demolishka]

Ну одно из достаточных условий равенства - монотонность(одинаковая для всех начиная с некоторого номера $k_0$) каждой из функций $F_k(x)$. Попробуйте это доказать.

[Kenelm]

demolishka
К сожалению, в интересующем меня случае $F_k(x)$ - не монотонна...

[demolishka]

Тогда назовите свойства, которыми может обладать ваша последовательность функций.

[Otta]

Почему бы Вам просто явно не написать Ваш случай?

[Kenelm]

Otta
demolishka
Да, пожалуй, придется. :) Просто мне не хотелось ограничиваться своим частным случаем, а разобраться в вопросе в целом! Да и функции слишком противненькие, чтобы напрягать уважаемое сообщество. :)
Итак: $F_n(x) = nx\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^i(1-x)^{n-i}\ln\left(\frac{i+1}{x(n+1)}\right)$

Максимум от этого монстра найти, по-моему, нереально, поэтому с вычислением величины $a$ есть проблемы. А вот если обозначить $\tau = nx$, $x = \tau/n$ и устремить $n \rightarrow \infty$ при фиксированном $\tau$, то получится вполне безобидная сумма, максимум которой по $\tau легко можно найти численно с любой заранее заданной точностью.

[ex-math]

Для равенства достаточно равномерной сходимости, ну и существования максимумов и пределов.
Для любого $\varepsilon$ при достаточно больших $i$ имеем $F_i(x)<F(x)+\varepsilon\leqslant\max F+\varepsilon$ и $\max F_i<\max F+\varepsilon$, что влечет $\lim\max F_i\leqslant\max F$.

[Kenelm]

ex-math в сообщении #890869 писал(а):

..., что влечет $\lim\max F_i\leqslant\max F$.

А не наоборот?

[Otta]

Наоборот у Вас уже есть, это доказательство равенства.

ЗЫ Я, к сожалению, не могу понять пока, почему Вы думаете, что Ваша последовательность сходится равномерно.

[Kenelm]

Otta
Хм, да, действительно, что-то я поторопился с равномерностью. А будет достаточно, если доказать равномерную сходимость только в окрестности максимума?