Движение в центральном поле

[tech]

Здравствуйте. Вопрос у меня целиком и полностью по ЛЛ-1 §14.

Рассмотрим сначала одномерное движение некоторой материальной точки вдоль координаты $r$ с функцией Лагранжа
$L'=\frac{m\dot{r}^2}{2}-\frac{M^2}{2mr^2}-U(r)$, и пусть сразу $U(r)=-\frac{\alpha}{r}\ (\alpha>0)$. С таким движением всё понятно. К примеру, если $E<0$, то движение финитно, частица ходит туда-сюда от $r_{\min}$ до $r_{\max}$, и на неё действует сила $\frac{\partial L'}{\partial r}$.
Закон изменения координаты $r$: $\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial L'}{\partial r}.

А теперь рассмотрим движение некоторой частицы в центральном поле. Функция Лагранжа и энергия выглядят следующим образом:
$L=\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{M^2}{2mr^2}-U(r);\ $ $E=\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{M^2}{2mr^2}+U(r)$
"...радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией
$U_{\operatorname{eff}}=\frac{M^2}{2mr^2}+U(r)$"

Но функция Лагранжа для этого одномерного движения выглядит так: $L'=\frac{m\dot{r}^2}{2}-\frac{M^2}{2mr^2}-U(r)$.

И все дальнейшие рассуждения в параграфе такие, будто закон изменения $r$ таков: $\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial L'}{\partial r}.
А должен быть таков: $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial L}{\partial r}$.
Никак не могу понять, как разрешить это противоречие.

[Munin]

По этому поводу почитайте
Медведев Б. В. Начала теоретической физики. § I.10.
(Вообще хорошая книжка, советую в неё поглядывать, после прочтения соответствующего материала по ЛЛ.)

Там сказано:

Цитата:

$$\left(\begin{aligned} &&&\text{выше по тексту:}\\ &\qquad&&\dfrac{d\varphi}{dt}=\dot{\varphi}=\dfrac{M}{\mu r^2}&\qquad(28.1)\\ &&&L=\dfrac{\mu}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)-U(r)&\qquad(28.2)\\ &&&\mu\text{ --- приведённая масса.}\\ \end{aligned}\right)$$

...

Задача о движении в центральном поле сводится к задаче об одномерном движении с «эффективной» потенциальной энергией $V(r)$:


$$V(r)=\dfrac{M^2}{2\mu r^2}+U(r)\quad\text{**).}\qquad(28.4)$$


ЗАМЕЧАНИЕ 1: «Эффективной» функцией Лагранжа будет


$$L_{\text{эфф}}=\dfrac{\mu r^2}{2}-\dfrac{M^2}{2\mu r^2}-U(r).$$

Она отнюдь не получается подстановкой (28.1) в первоначальную функцию Лагранжа (28.2). Причина этого состоит в том, что для функции Лагранжа существенно ее выражение не только и не столько для реальных движений $q(t),$ сколько для виртуальных движений $q(t)+\delta q(t),$ для которых (28.1) не имеет места.


________________
**) Член $\dfrac{M^2}{2\mu r^2}$ здесь называют центробежной энергией.

[Oleg Zubelevich]

цивилизованая версия этой деятельности называется понижением порядка по Раусу. Ссылки уже давал в другой ветке.

[Munin]

Не помешают и здесь.

[Oleg Zubelevich]

http://lib.mexmat.ru/books/78739
ЮФ Голубев Теор Механика

-- Вс июл 27, 2014 18:39:24 --

у Маркеева тоже наверняка есть

-- Вс июл 27, 2014 18:39:46 --

Я В Татаринов Лекции по класс. мех

[Утундрий]

Вообще-то, функция Рауса и в ЛЛ1 есть...

[Red_Herring]

tech в сообщении #890604 писал(а):

И все дальнейшие рассуждения в параграфе такие, будто закон изменения $r$ таков: $\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial L'}{\partial r}$.
А должен быть таков: $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial L}{\partial r}$.
Никак не могу понять, как разрешить это противоречие.

Никакого противоречия и нет. Только при нахождении $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}$ не забывайте, что $L$ зависит от угловых переменных и их производных по $t$, и они зависят от $t$.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #890719 писал(а):

Только при нахождении $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}$ не забывайте, что $L$ зависит от угловых переменных и их производных по $t$, и они зависят от $t$.

Вообще-то не помогает. От угловых переменных не зависит, а после взятия частной производной - и от угловых скоростей не зависит. И что бы там ни было с зависимостью от $t,$ это уже иррелевантно.

[Red_Herring]

Не зависит, действительно. Но противоречия нет:

$$\begin{align} &\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=\dot{r},\\ &\frac{\partial L'}{\partial \dot{r}}=\dot{r},\\ &\frac{\partial L}{\partial r}= -U'(r )+r\dot{\phi}^2,\\ &\frac{\partial L}{\partial r}= -U'(r)+M^2\mu^{-1}r^{-3} \end{align}$$

и мы знаем что $r^2\dot{\phi}=M$.

[Munin]

У вас где-то опечатка? $U'$ не введено.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #890731 писал(а):

У вас где-то опечатка? $U'$ не введено.

$U'=\partial U/\partial r$.
$\phi$–угловая координата.
Но заметим, что $\dot{r}$ нигде не было ввдено также.
$\mu=1$

[Munin]

Ясно.

[tech]

Большое спасибо.
Я прочитал про функцию Рауса, и, оказывается, та самая "эффективная" функция Лагранжа $L'$ есть не что иное как функция Рауса со знаком минус.
И еще вопрос: почему когда мы ищем $\frac{\partial L}{\partial r}$, мы дифференцируем именно первоначальную функцию $L=\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{mr^2\dot{\varphi}^2}{2}-U(r)$, а не вот эту например $L=\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{M^2}{2mr^2}-U(r)$?

[Red_Herring]

tech в сообщении #890947 писал(а):

И еще вопрос: почему когда мы ищем $\frac{\partial L}{\partial r}$, мы дифференцируем именно первоначальную функцию $L=\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{mr^2\dot{\varphi}^2}{2}-U(r)$, а не вот эту например $L=\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{M^2}{2mr^2}-U(r)$?

Потому, что мы ищем $\frac{\partial L}{\partial r}$, а не $\frac{\partial L'}{\partial r}$. Но как я показал, это приводит к тому же самому результату.

[tech]

Red_Herring
Я имел в виду следующее: $L=\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{mr^2\dot{\varphi}^2}{2}-U(r)\ (1)$ и $L=\frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{M^2}{2mr^2}-U(r)\ (2)$ – это одно и то же, но в последнем случае $\dot{\varphi}$ мы выразили через $M$ и $r$. И то, и другое – это $L$, а не $L'$. А чтобы найти $\frac{\partial L}{\partial r}$, мы выбираем $(1)$, а не $(2)$. Почему?