Киевский турнир матбоев, 2 и 3 тур

[Trius]

2. Пусть $M$ - точка внутри правильного $n$-угольника. Доказать, что найдутся такие две его разные вершины $A$и $B$, что $180^{\circ}(1-\frac 1 n)\leq \angle AMB\leq 180^{\circ}$.
3. Доказать для положительных чисел неравенство $\frac {a+b+c+d} {a+b+c+d+f+g} +\frac {c+d+e+f} {c+d+e+f+b+g} > \frac {e+f+a+b} {e+f+a+b+d+g}$.
4. Задан остроугольный треугольник $ABC$ и точку $P$ внутри него. $C_1,B_1$ - проекции $P$ на $AB$ и $AC$. $BB_0,CC_0$ - высоты треугольника. Точка $P_0$ симметрична $P$ относительно середины $B_1C_1$. Пусть прямые $BP$и $AC$, $CP$ и $AB$, $C_0P_0$ и $AC$, $B_0P_0$ и $AB$, пересекаются соответственно в точках $B_3$, $C_3$, $B_4$, $C_4$. Доказать, что точки $B_3$, $C_3$, $B_4$, $C_4$ принадлежат одной окружности.
5. Найти все функции $f:R^2 \to R$, что для любых ${\{x_1,x_2,...,x_{2007}}\}\in R$ $f(f(f(...f(f(x_1,x_2),x_3)...),x_{2007}))= x_1+x_2+...+x_{2007}$
6. Известно, что для натуральных чисел $x,y$ число $x^2+y^2+1$ делится на $xy$. Доказать, что $\frac {x^2+y^2+1} {xy} =3$.
7. Есть $mn+1$ коробка. Доказать, что можно найти $m+1$ коробку, которые не помещаются одна в другую, или $n+1$ коробку, которые можно одна в другую последовательно упаковать.
8. Клетки бесконечной шахматной доски последовательно нумеруют следущим образом: на первой угловой клетке ставится номер $0$, а потом каждой клетке приписывается наименьший возможный номер, еще не использованный для нумерации каких-то предыдущих клеток той же горизонтали и той же вертикали. Какой номер при этом получит клетка, стоящая на пересечении 100й горизонтали и 1000й вертикали?

Начало здесь. (dm)

[Батороев]

Trius писал(а):

6. Известно, что для натуральных чисел $x,y$ число $x^2+y^2+1$ делится на $xy$. Доказать, что $\frac {x^2+y^2+1} {xy} =3$.

$ \frac{x^2 + y^2 + 1}{xy} = z $,
где $ z $ - натуральное число.

$ (x + \frac{1}{x})(y + \frac{1}{y}) = z + xy $

Левая часть может быть натуральным числом только при двух значениях $ x, y $ (при $ {x}\geq{y} $)
а именно, при $ x_1 = y_1 = 1 $
или $ x_2 = 2, y_2 = 1 $.
В обоих случаях $ z = 3 $.

[Trius]

$x=5,y=13$ подходят

[TOTAL]

Trius писал(а):

$x=5,y=13$ подходят

Пусть $x_0 < y_0$ подходят:
$x_0^2 +y_0^2 +1 =k x_0 y_0$.

Тогда $x_1 < y_1$, где $x_1=k x_0 - y_0, \; y_1 = x_0$, тоже подходят:
$x_1^2 +y_1^2 +1 =k x_1 y_1$.

Продолжая, на некотором шаге получим, что и $x_n = y_n = 1$ подходят:
$x_n^2 +y_n^2 +1 =k x_n y_n$.

[Батороев]

Trius писал(а):

8. Клетки бесконечной шахматной доски последовательно нумеруют следущим образом: на первой угловой клетке ставится номер $0$, а потом каждой клетке приписывается наименьший возможный номер, еще не использованный для нумерации каких-то предыдущих клеток той же горизонтали и той же вертикали. Какой номер при этом получит клетка, стоящая на пересечении 100й горизонтали и 1000й вертикали?

По-моему, 1098.

[La|Verd]

TOTAL писал(а):

Trius писал(а):

$x=5,y=13$ подходят

Пусть $x_0 < y_0$ подходят:
$x_0^2 +y_0^2 +1 =k x_0 y_0$.

Тогда $x_1 < y_1$, где $x_1=k x_0 - y_0, \; y_1 = x_0$, тоже подходят:
$x_1^2 +y_1^2 +1 =k x_1 y_1$.

Продолжая, на некотором шаге получим, что и $x_n = y_n = 1$ подходят:
$x_n^2 +y_n^2 +1 =k x_n y_n$.

Ну и что же нам это дает?

[TOTAL]

La|Verd писал(а):

TOTAL писал(а):

Продолжая, на некотором шаге получим, что и $x_n = y_n = 1$ подходят:
$x_n^2 +y_n^2 +1 =k x_n y_n$.

Ну и что же нам это дает?

Нам это дает: $1^2 +1^2 +1 =k*1*1$

[dm]

Выложил тексты и младшей, и старшей лиг на украинском языке. Переводить в TeX нет времени.

http://77.120.100.11/file/4385944/3568876/matboj2.djvu

Зеркало1: http://rapidshare.com/files/74872695/matboj2.djvu.html

Зеркало2: http://matholymp.kiev.ua/index.php?p=fo ... 135&area=1

[Trius]

Решить в целых числах : $x^2=y^5-4$

[juna]

Уже метод грубой силы по модулю 11 приводит к противоречию. Т.е. решений нет.

[Trius]

Как вы догадались использовать сравнения именно по модулю 11? Просто проверяли для меньших модулей?

[juna]

Помогла малая теорема Ферма.
Например,
$y^3(\mod 7)$,
$y^5 (\mod 11)$,
$y^9 (\mod 19)$,
$y^{11} (\mod 23)$ и т.д.
имеют только три возможных вычета. Т.е. это очень хороший фильтр.

[dm]

3-й матбой (на украинском)

http://infostore.org/info/4385944
прямая ссылка: http://77.120.100.14/file/4385944/3660156/matboj3.djvu (66,3 KB)

Зеркало: http://rapidshare.com/files/77961087/matboj3.djvu.html