Проблема с вычислением конечной суммы

[maxmatem]

При исследовании возникла проблема вычислить следующею конечную сумму

$$ \sum_{i=0}^k C^{k}_{i} (-1)^{k-i} \left ( \sum_{m=0}^{k-2} \left ( \frac{2k-2m-1}{2}\right )\left( (q+i)^{m+1}-(q+i)^{m} \right ) + \frac{(q+i)^{k}-(q+i)^{k-1}}{2} \right ) $$

Причем числа $k;q$ фиксированные константы.
Я пытался эту сумму раскладывать, но ничего путного не получилось. Вообще у меня цель , найти явное значение этой суммы.

[Vince Diesel]

Там действительно $C_i^k$? А то в этом случае все слагаемые, кроме одного, равны нулю.

[maxmatem]

Vince Diesel
нет нет там опечатка должно быть $C^{i}_{k}$
просто сам чуть запутался так как в формуле в которую подставлял было обозначение биномиальных коэффициентов было $\binom{k}{i}\quad$

Я надеюсь что выражение этой конечной суммы не будет зависеть от $q$ (это показали результаты численного эксперемента)

[Vince Diesel]

Ну, эксперименттально для $k\ge1$ получается $k!/2$.

ЗЫ. Известно, что разность порядка $k$ от многочлена порядка $k$ равна $k!$. А под знаком суммы многочлен порядка $k$, причем старший коэффициент равен $1/2$. Мб этого замечания тут достаточно.

[maxmatem]

Vince Diesel
Да спасибо, за полезное замечание. Кстати, а как можно доказать что искомая сумма равна $\frac{k!}{2}$ ?
Можете дать ссылку на этот факт, а именно на то что чему разность порядка к от м-на степени к ?

[Vince Diesel]

В больших скобках стоит многочлен степени $k$ от переменной $i$. Коэффициент при $i^k$ равен $1/2$. Далее все следует из формулы

$$\Delta^k i^m=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & m<k ,\\ k! & m=k ,\end{array} \right.$$

которая наверняка есть в "Конкретной математике". Также можно посмотреть Гельфонд "Исчисление конечных разностей".