Схемное пересечение

[OlgaD]

Помогите, пожалуйста, разобраться в понятии схемного пересечения гиперповерхностей. Есть ли разница с обычным теоретико-множественным пересечением? Если можно, покажите это на примере.
Пока у меня сложилось такое представление: 1. Любая алгебраическая кривая $C$ в $\mathbb{P}^n$ есть алгебраическое множество, т.е. множество общих нулей некоторого количества однородных многочленов $\{f_i\}_{i\in I}.$ (это теоретико-множественное пересечение) 2. С другой стороны можно рассмотреть идеал этой кривой, т.е. множество $I(C),$ содержащий все однородные многочлены тождественно равные на $C.$ Если многочлены $\{f_i\}_{i\in I}$ образуют этот идеал, то мы получаем схемное пересечение. Я не знакома с теорией схем, поэтому особой разницы между такими пересечениями не замечаю, в любом случае получаем ту же кривую $C.$ Может, я неправильно поняла смысл схемного пересечения?

[Xaositect]

Например, возьмем конус $x^2 + y^2 - z^2 = 0$ и плоскость $x - z = 0$ (это в аффинном пространстве, но в проективном тут то же самое). Их теоретико-множественное пересечение - это прямая $x - z = y = 0$, но многочлен $y$ не содержится в идеале $\left<x^2 + y^2 - z^2, x - z\right>$.

[OlgaD]

А над каким полем Вы рассматриваете пример? Или это здесь не важно?

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #890154 писал(а):

А над каким полем Вы рассматриваете пример? Или это здесь не важно?

Не важно, пусть будет $\mathbb{C}$. Идеал $\left<x^2 + y^2 - z^2, x - z\right> = \left<x - z, y^2\right>$ не является радикальным идеалом.

[OlgaD]

А пересечение двух плоскостей будет всегда схемным?

[Xaositect]

Да.

[OlgaD]

Пытаюсь понять, соответствует ли Ваш пример с моим пониманием схемного пересечения (в данном случае, как раз его отсутствия). Делаю вывод, что по моему представлению это тоже не будет схемным пересечением, так как многочлены $f_1=x^2+y^2-z^2$ и $f_2=x-z$ не составляют базис идеала для прямой $x-z=y=0.$ А вообще, насколько мое понимание схемного пересечения в первом сообщении далеко (не точно) от правильного?

-- 25.07.2014, 13:57 --

А вообще-то, по-моему, оно несколько моему представлению не противоречит. Но это опять приводит к вопросу, который я задавала в другой теме. Как правильно определять идеал алгебраического многообразия.

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #890163 писал(а):

А вообще, насколько мое понимание схемного пересечения в первом сообщении далеко (не точно) от правильного?

Да нет, все хорошо. Есть теоретико-множественное пересечение $V_1\cap V_2$, есть идеал $I(V_1) + I(V_2)$. Если $I(V_1 \cap V_2) = I(V_1) + I(V_2)$, то теоретико-множественное пересечение будет схемным.
А идеал проективного многообразия $I(V)$ определяется как множество всех однородных многочленов, тождественно равных нулю на $V$.

[OlgaD]

Тогда еще вопрос по той же теме, чем выгоднее именно схемное представление многообразия?

[Xaositect]

Ну, оно позволяет формализовать, что пересечение конуса и каcательной плоскости - это не просто прямая, а двукратная прямая.

[OlgaD]

А полное пересечение гиперповерхностей? Позволяет описывать пересечение кривых как пересечение квадрик?

[Xaositect]

Не понял вопроса.

[OlgaD]

Извините, я смешала в одном вопросе несколько понятий. Попробую поставить вопрос по другому. Утверждается, что почти любая каноническая кривая $C\subset\mathbb{P}^n$ является схемным пересечением квадрик. Возникает вопрос, для чего используется этот факт? Упоминание о полном пересечении, наверное, здесь было лишним.

[Xaositect]

Не знаю.

[OlgaD]

Да, наверное, этот вопрос был слишком узкоспециальным. Однако, большое спасибо за помощь.