подскажите формулу общего решения оду 2 порядка

[roma1990]

Привет!

Может кто нибудь помнит где написана формула - общее решение неоднородного оду 2 порядка через решение однородного (в общем виде)

А именно: пусть $y(x)$ есть решение уравнения $y''(x)+q(x) y(x)=0,$

Тогда решение неоднородного уравнения $z''(x)+q(x)z(x)=f(x)$ имеет вид

$z(x)=c_1 y(x)+ c_2 y(x) \int_0^x \frac{ds}{y^2(s)} + y(x)\int_0^x \frac{\int_0^s y(t) f(t) dt \, ds}{y^2(s)}$

Формула не точная (вспомнил по памяти) - ищу где она написана в литературе

[Shtorm]

roma1990, ну что-то похожее есть в книге Егоров А.И. "Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями"

[ewert]

roma1990 в сообщении #890033 писал(а):

$z(x)=c_1 y(x)+ c_2 y(x) \int_0^x \frac{ds}{y^2(s)} + y(x)\int_0^x \frac{\int_0^s y(t) f(t) dt \, ds}{y^2(s)}$

Формула не точная (вспомнил по памяти)

Формула не то чтобы неточная, но довольно невнятно выписанная: последнее слагаемое на самом деле должно выглядеть как $y(x)\int\limits_0^x \frac{ds}{y^2(s)}\int\limits_0^s y(t) f(t) dt$. Она получается из стандартной формулы метода вариации произвольных постоянных:

$z(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)-y_1(x)\int\limits_0^x\frac{f(t)y_2(t)}{w}\,dt+y_2(x)\int\limits_0^x\frac{f(t)y_1(t)}{w}\,dt,$

где $w=y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x)$ -- вронскиан двух независимых решений однородного уравнения. И если теперь выразить второе решение через первое из условия, например, $w\equiv1$, т.е. взять $y_2(x)=y_1(x)\int\limits_0^x\frac{ds}{y_1^2(s)}$, то после подстановки там появятся два двойных интеграла, причём в третьем слагаемом интеграл будет браться по треугольнику, а в четвёртом -- по квадрату. Интегралы по общему треугольнику сократятся, и останется то, что нужно.

Это если по существу; а ссылку на литературу дать, к сожалению, не могу.