Физический смысл второго уравнения МОЗР.

[пианист]

Hi, all!
Как известно, ГГКМ предложили интерпретировать уравнение Кортевега-Де Фриза
$u_t-6uu_x+u_{xxx}=0$
как условие совместности системы из двух уравнений, одно из которых есть всем хорошо известное одномерное стационарное уравнение Шредингера
$-\psi_{xx}+u\psi=E\psi$.
Получилась очень забавная связь распространения волн по воде и рассеяния электрона на потенциале, и много интересных результатов.
Однако же есть еще и второе уравнение системы
$\psi_t+\psi_{xxx}-3(u+E)\psi_x=D\psi$.
Так вот, нет ли и у этого уравнения какой-то осмысленной интерпретации? Выглядит оно, правда, диковато, но..
Соответственно, НУШ что-то такое применительно к уравнению Дирака.

[Prikol]

пианист в сообщении #788120 писал(а):

Hi, all!
Как известно, ГГКМ предложили интерпретировать уравнение Кортевега-Де Фриза
$u_t-6uu_x+u_{xxx}=0$
как условие совместности системы из двух уравнений, одно из которых есть всем хорошо известное одномерное стационарное уравнение Шредингера
$-\psi_{xx}+u\psi=E\psi$.
Получилась очень забавная связь распространения волн по воде и рассеяния электрона на потенциале, и много интересных результатов.
Однако же есть еще и второе уравнение системы
$\psi_t+\psi_{xxx}-3(u+E)\psi_x=D\psi$.
Так вот, нет ли и у этого уравнения какой-то осмысленной интерпретации? Выглядит оно, правда, диковато, но..
Соответственно, НУШ что-то такое применительно к уравнению Дирака.

Второе уравнение дает зависимость от времени данных рассеяния, найденых из первого уравнения. Причем используется даже не все уравнение, а только его асимптотический вид, когда все его коэффициенты становятся константами. В первое уравнение время входит, но только как параметр, u зависит от t. Во втором уравнении время уже переменная, а не параметр.

[пианист]

Интерпретация в рамках МОЗР б.-м. понятна.
Вопрос, нет ли интерпретации, независимой от МОЗР, подобно первому уравнению.

[Prikol]

пианист в сообщении #887981 писал(а):

Вопрос, нет ли интерпретации, независимой от МОЗР, подобно первому уравнению.

Я когда-то делал всевозможные замены зависимых и независимых переменных в методе Лакса для КдВ. Иногда получалась вполне приличная и узнаваемая форма для второго уравнения, но при этом первое искажалось до неузнаваемости.

Это как неопределенность Гейзенберга, улучшаем одно - портим другое.

[Prikol]

Prikol в сообщении #888093 писал(а):

Иногда получалась вполне приличная и узнаваемая форма для второго уравнения, но при этом первое искажалось до неузнаваемости.

Это все было популярным на ранней стадии развития ОЗР. Потом выяснилось, что более мощные методы дают намного больше при меньших усилиях.

[пианист]

Пытались привести второе уравнение к узнаваемому виду? Любопытно.. Только не очень понятно, чем это могло помочь применительно к исходной задаче.
Что это за более мощные методы?

[Prikol]

пианист в сообщении #889617 писал(а):

Пытались привести второе уравнение к узнаваемому виду? Любопытно.. Только не очень понятно, чем это могло помочь применительно к исходной задаче.

Ваш начальный вопрос был - "нет ли и у этого уравнения какой-то осмысленной интерпретации?"

Такая интерпретация появилась как побочный результат после замен переменных. При этом исходное уравнение уже было решено и помочь с его решением не надо было. Замены переменных производились для расширения списка интегрируемых уравнений.

пианист в сообщении #889617 писал(а):

Что это за более мощные методы?

Построение иерархий. Об этом есть немного в двух книжках
1. Лезнов, Савельев - Групповые методы ...
2. Переломов - Интегрируемые системы ...
Было также много статей.

[пианист]

Ну, мой-то вопрос носил праздный характер :) я совершенно не имел в виду каких-то методов интегрирования (скорее, наоборот).

Не совсем понял: так Вы неким образом модифицировали КдФ, с тем чтобы модифицированное уравнение тоже имело какие-то свойства интергрируемости?

А куда там надо смотреть? Переломова пробовал читать, так и не понял, про что, эта книжка проходит у меня по статье Neue Begründung :)

[Prikol]

Есть много разных замен переменных. Некоторые не меняют КдВ, но меняют вид двух операторов Лакса. Другие меняют и исходное уравнение. При этом интегрируемость сохраняется.

Простейшая иерархия - высшие КдВ. Первый оператор тот же, второй усложняется. Получаются КдВ с добавлением произваодных более высокого порядка. Есть аналогичные иерархии для НУШ, СГ и т.д.

Лезнов Савельев дают методы нахождения таких иерархий для операторов рассеяния более сложных, чем Шредингер. У Переломова вводится ряд понятий, полезных для чтения первой книжки, которая "с места в карьер". Все простые примеры у Переломова можно пропустить, смотреть только солитонику. Если Лезнов читается сразу, то Переломова можно вообще пропустить. Недостаток других книг по солитонам - упор на ОЗР и отсутствие путей для расширений и обобщений метода.

[пианист]

А, понял, спасибо.
Лезнова, Савельева посмотрел, освоение технологии требует довольно серьезных усилий (хотя в итоге, похоже, все сводится к раскрытию громоздких выражений коммутаторов).

(Оффтоп)

Кстати, Вам не доводилось иметь дело с техникой МОЗР применительно к уравнениям размерности выше первой (по пространству)?

[Prikol]

пианист в сообщении #890088 писал(а):

МОЗР применительно к уравнениям размерности выше первой (по пространству)?

Уравнение Кадомцева-Петвиашвили имеет две пространственные переменные и рассмотрено во многих книжках. Другие уравнения есть в статьях.

[пианист]

(Prikol)

Это я, как бы, в курсе :)
Имею вопрос к человеку, погруженному в тему несколько глубже, чем на уровне общего знакомства, как у меня.