Метод перевала и особые точки

[lv00]

Здравствуйте.
Меня интересует вопрос вычисления интегралов вида $ \int f(z) e^{ \lambda \Phi(z)} dz $ при больших $ \lambda $ методом перевала.
А именно, что делать, если, функция $f(z)$, стоящая перед экспонентой, имеет особенности - простые полюса или точки ветвления.
Что делать, если эти особенности "задеваются" при деформировании исходного контура интегрирования в контур наискорейшего спуска? Учитываются ли они просто аддитивно, как вклад от обычного полюса, например, или нет?
Я слышал, что все не так просто.
Где можно об этом поподробнее прочитать?

[ex-math]

Есть книга Федорюка "Метод перевала". Но не уверен, что там рассматривается Ваш вопрос.
Если у Вас конкретная задача, то лучше всего будет аккуратно решить ее самому, опираясь на идеи классического метода перевала, потому что только так Вы учтете ее индивидуальные особенности.
Но навскидку, непонятно, почему бы простому полюсу не учитываться аддитивно, просто в силу теоремы Коши. Конечно, нужно следить, какой будет порядок этого вычета относительно главного члена. Точки ветвления обычно обходят по окружностям малого радиуса, при этом появится интеграл по берегам соответствующего разреза, его тоже придется асимптотически вычислять.

[lv00]

ex-math в сообщении #889210 писал(а):

Есть книга Федорюка "Метод перевала". Но не уверен, что там рассматривается Ваш вопрос.
Если у Вас конкретная задача, то лучше всего будет аккуратно решить ее самому, опираясь на идеи классического метода перевала, потому что только так Вы учтете ее индивидуальные особенности.
Но навскидку, непонятно, почему бы простому полюсу не учитываться аддитивно, просто в силу теоремы Коши. Конечно, нужно следить, какой будет порядок этого вычета относительно главного члена. Точки ветвления обычно обходят по окружностям малого радиуса, при этом появится интеграл по берегам соответствующего разреза, его тоже придется асимптотически вычислять.

Ну в силу теоремы Коши если учитывать вклад простого полюса, то не надо же делить значение интеграла на коэффициент при перевальном методе (который берется из гауссового интеграла), ведь так? Просто я в каких-то работах видел, что не все так просто, там полюс учитывается с каким-то хитрым коэффициентом...

И я немного не понял - что такое "порядок вычета относительно главного члена"?

[ex-math]

Я имел виду порядок малости. Здесь все зависит от значения $\Phi$ в этом полюсе.

Непонятно, откуда бы этот хитрый коэффициент мог взяться. Когда Вы деформируете контур, Вы просто пользуетесь теоремой Коши. А гауссовский интеграл появляется уже потом как приближение для интеграла по этому продеформированному контуру. Может, у Вас есть ссылки на эти работы, чтобы мне понять о чем речь?

Вам надо уточнить постановку задачи. Если она конкретная, то будем ее решать. Если общая постановка, то все равно она не должна быть столь размытой, у Вас там может быть уйма разных ситуаций.

[lv00]

ex-math в сообщении #889286 писал(а):

Я имел виду порядок малости. Здесь все зависит от значения $\Phi$ в этом полюсе.

Непонятно, откуда бы этот хитрый коэффициент мог взяться. Когда Вы деформируете контур, Вы просто пользуетесь теоремой Коши. А гауссовский интеграл появляется уже потом как приближение для интеграла по этому продеформированному контуру. Может, у Вас есть ссылки на эти работы, чтобы мне понять о чем речь?

Вам надо уточнить постановку задачи. Если она конкретная, то будем ее решать. Если общая постановка, то все равно она не должна быть столь размытой, у Вас там может быть уйма разных ситуаций.

Ну, я основывался на некоторых статьях. Вам кинуть прямо ссылки на статьи?..

[ex-math]

Если можно.

[lv00]

ex-math в сообщении #889310 писал(а):

Если можно.

Ладно, я, пожалуй, еще раз все проверю по статье, чтобы лишний раз не напрягать. Тем более это, я думаю, довольно сложно - разбирать отдельные моменты в незнакомой статье.

Просто я наткнулся на одном сайте на некие утверждения (пронумерованные пункты):
http://www.femto.com.ua/articles/part_2/2785.html

Собственно, они меня и запутали.

[ex-math]

Там довольно мутно написано. Непонятно, что значит "вблизи". Про точку ветвления 1-го порядка вообще молчу.
Скорей всего, какие-то особенности $f$ в окрестности седловой точки действительно могут искажать главный член.
Асимптотику функций Эйри когда-то сам выводил, там две седловые точки, и в зависимости от параметров приходится по-разному выбирать контур.
ИМХО, доказательство таких результатов в общем виде довольно неблагодарное и малоинтересное занятие. Слишком много вариантов, слишком громоздкие и неуклюжие утверждения получаются. И возникают такие вопросы как у Вас -- откуда вообще это все. Лучше смотреть каждую конкретную задачу, что и как там расположено. Тогда будет понятно, к каким интегралам сводится и почему.

[Munin]

lv00 в сообщении #889546 писал(а):

Просто я наткнулся на одном сайте на некие утверждения (пронумерованные пункты)

Это не "на одном сайте", а Физическая Энциклопедия (в 5 томах, под ред. Прохорова, 1988-1998). Можете её скачать в DjVu или PDF с разных библиотек. На femto.com.ua она просто выложена в распознанном и проиндексированном виде. Могут быть ошибки OCR, в принципе, хотя выключные формулы даны картинками.