2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 20:58 


22/07/12
560
Нужно найти длину кривой $\sqrt{x/a} + \sqrt{y/b} = 1$.
Я решил перейти к параметрической форме:
$ t \in [0, \pi/2] $
$x = a \sin^2t$
$y = b (1 - \sin t)^2$
$x' = 2a \sin t \cos t$
$y' = 2b(\sin t \cos t - \cos t)$
$\int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{x'^2(t) + b'^2(t)} dt = \int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{4 \cos^2t (\sin^2t(a^2 + b^2) - 2b^2 \sin t + b^2)} dt$
Дальше я снова делаю замену $z = \sin t$:
$\int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{x'^2(t) + b'^2(t)} dt = 2 \int\limits_0^{1} \sqrt{ (z^2(a^2 + b^2) - 2b^2 z + b^2)} dz$
Вроде бы я уже близок к решению, но у меня такое чувство, что я еду из Москвы в Тулу через Владивосток. Может кто подскажет, как тут было бы более эффективно решить данную задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Параметризация конечно у вас ужасная. Вот у вас кривая задается уравнением y=f(x). Как параметризовать ее проще всего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 21:43 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
main.c, действительно, в параметризации можно обойтись без тригонометрических функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 22:09 


22/07/12
560
Shtorm в сообщении #888819 писал(а):
main.c, действительно, в параметризации можно обойтись без тригонометрических функций.

demolishka в сообщении #888816 писал(а):
Параметризация конечно у вас ужасная. Вот у вас кривая задается уравнением y=f(x). Как параметризовать ее проще всего?

Да, наверное лучше было бы сделать так:
$x = t$
$y = b(1- \sqrt{\frac{t}{a}})^2$
Я не хотел, чтобы были корни в параметрическом уравнении, очень не люблю с ними работать, поэтому параметризовал через синус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 22:23 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
main.c в сообщении #888825 писал(а):
Да, наверное лучше было бы сделать так:
$x = t$
$y = b(1- \sqrt{\frac{t}{a}})^2$


Делать такую параметризацию, в данном случае, смысла воообще нет, ибо это равносильно явному выражению $y$ через $x$ без всякого параметра. Это я к тому, что после того, как выразим $y$ через $x$ в явном виде - просто подставляем в формулу длины дуги для функции заданной как $ y=f(x)$. Но можно конечно и так решать.
Я подобрал вот какую параметризацию:
$$
\begin{cases}
 x=at^2,&\ \ t\in[0,1]\\
 y=b(1-t)^2&
\end{cases}
$$

но даже при такой параметризации в итоге придётся выделять под корнем полный квадрат, возиться с громоздкимии коэффициентами, а потом ещё дальше либо замена, либо по частям - тоже всё громоздко и неприятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 13:58 


03/06/12
2862
можно и параметризацией через тригонометрию по-другому

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 16:00 


01/12/11

1047
main.c в сообщении #888811 писал(а):
Нужно найти длину кривой $\sqrt{x/a} + \sqrt{y/b} = 1$.

Если использовать параметризацию $x_1^2=\sqrt{x/a}$ и $y_1^2=\sqrt{y/b}$, то $x_1^2+y_1^2=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 17:04 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Sinoid в сообщении #889190 писал(а):
можно и параметризацией через тригонометрию по-другому


Имеется ввиду такая параметризация?:
$$
\begin{cases}
 x=a\sin^4t,&\ \ t\in[0,\frac{\pi}{2}]\\
 y=b\cos^4t&
\end{cases}
$$

Но там под корнем получится ли преобразовать к виду, чтобы взять интеграл?

Да, после замены тригонометрической функции на новую переменную опять получим под корнем неполный квадрат с аналогичными коэффициентами. Так что выгоды ни какой. Лучше ту параметризацию с квадратом.

-- Пн июл 21, 2014 17:18:30 --

Skeptic в сообщении #889211 писал(а):
Если использовать параметризацию $x_1^2=\sqrt{x/a}$ и $y_1^2=\sqrt{y/b}$, то $x_1^2+y_1^2=1$.


То есть, сначала вводим новую систему координат, а потом уже...

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 22:40 


03/06/12
2862
Shtorm в сообщении #889220 писал(а):
Но там под корнем получится ли преобразовать к виду, чтобы взять интеграл?

Вы бы хоть не полностью параметризацию писали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 23:10 


29/09/06
4552
Shtorm в сообщении #889220 писал(а):
Так что выгоды ни какой.
Ага. Ни какой. Ни когда. Ни куда не годится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение23.07.2014, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Shtorm в сообщении #889220 писал(а):
Но там под корнем получится ли преобразовать к виду, чтобы взять интеграл?

Получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение23.07.2014, 16:48 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
bot, Вы имеете ввиду, что вот такой интеграл получится
$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}(1+\cos2t)^2 - a^2 (1+\cos2t) + a^2}\ \ d(1+\cos2t)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Я не вычислял - просто навскидку сказал. Ясно было, что аргумент удвоится и под корнем квадратный трёхлен окажется, очевидно без действительных корней. Ну вот и подвердилось и теперь он уже почти табличный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 14:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #888811 писал(а):
Дальше я снова делаю замену $z = \sin t$:
$\int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{x'^2(t) + b'^2(t)} dt = 2 \int\limits_0^{1} \sqrt{ (z^2(a^2 + b^2) - 2b^2 z + b^2)} dz$

Оно так, конечно; но к чему все эти пляски с бубнами и параметризациями?... Если в лоб выразить игрек через икс, то сходу получается $\int\limits_0^{\sqrt{a}}\sqrt{1+b^2\left(\frac1a-\frac1{\sqrt{ax}}\right)^2}\;dx$, который после напрашивающейся замены $\sqrt{x}=z\sqrt{a}$ автоматически к Вашему последнему и сведётся. А дальше уж увы -- этот интеграл никак и ничем не упростишь; какой получился, такой и получился. Но и берётся он совершенно стандартно -- или, если лень считать вручную, то тупо выписывается из любой хоть мало-мальски расширенной таблицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 15:28 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
bot в сообщении #889855 писал(а):
Я не вычислял - просто навскидку сказал. Ясно было, что аргумент удвоится и под корнем квадратный трёхлен окажется, очевидно без действительных корней. Ну вот и подвердилось и теперь он уже почти табличный.


Да. Но посмотрите, после замены переменной получится интеграл аналогичный тому, что получил ТС в первом сообщении темы, причём всяких тригонометрических преобразований у него явно меньше было. Поэтому- то я и написал, что особого смысла не было. Но самое быстрое и эффективное решение по-прежнему остаётся с использованием параметризации:
Shtorm в сообщении #888826 писал(а):
Я подобрал вот какую параметризацию:
$$
\begin{cases}
 x=at^2,&\ \ t\in[0,1]\\
 y=b(1-t)^2&
\end{cases}
$$


Тут просто меньше действий нужно делать.

ewert в сообщении #889883 писал(а):
Если в лоб выразить игрек через икс, то сходу получается $\int\limits_0^{\sqrt{a}}\sqrt{1+b^2\left(\frac1a-\frac1{\sqrt{ax}}\right)^2}\;dx$,


А почему верхний предел интегрирования равен $\sqrt{a}$ ? Он должен равняться просто $a$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group