Эффективность математической интуиции

[longstreet]

Linkey в сообщении #888664 писал(а):

Вначале подумал, что круг, но потом осознал, что наверно это что-нибудь вроде четырёхконечной звезды.

В задаче главным образом интересует значение минимальной площади. Так какова она?

Linkey в сообщении #888664 писал(а):

Странно, разве это не самоочевидная истина?

На эту тему подумайте над подписью, которую длительное время использовал maxal: "Очевидно то, что легко доказать, а не то, что трудно опровергнуть". Хорошая же.

[arseniiv]

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

Я прочёл две книги Д. Пойа

…совершенно не вчитываясь. Вы даже задачи явно не решали. Считаете, можно иметь осмысленное впечатление о математике, не занимаясь ею? Как можно говорить об интуиции, когда вы не знаете, каким способом её голос проверить и настроить? Извините, но на расстроенном рояле с оркестром не сыграть.

[Munin]

arseniiv в сообщении #888965 писал(а):

Извините, но на расстроенном рояле с оркестром не сыграть. :mrgreen:

Не умея играть, не имея слуха и не зная нот...

[Toucan]

mishafromusa в сообщении #888668 писал(а):

Munin, наденьте ползунок! Неприлично сидеть голышом и изрекать с умным видом.

mishafromusa, замечание за личные выпады.

[cscscs]

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

Всегда ли интуиция так работает?

Не всегда, иногда интуитивно кажется верным одно, а на самом деле верно совсем другое. Например, парадокс Монти Холла.

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

В каких задачах ответ виден интуитивно, но не виден логически?

Проблема Гольдбаха, например.

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

Если я правильно понял, разница между потенциальной и актуальной бесконечностью ясна интуитивно?

Мне ясна. Как другим не знаю.

[Linkey]

Aritaborian в сообщении #888628 писал(а):

А ещё можно вспомнить книгу В. Босса «Математика и интуиция».

У меня вопросы по этой книге:
1) Автор пишет, что в четырёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку сферу и разъёдинить два зацеплённых кольца, не разрывая их. Первое я вроде понял: это то же самое, что перевернуть в трёхмерном пространстве замкнутую кривую (вращать верёвочку в форме круга на 180 градусов вокруг самой верёвочки). А второе означает, что в четырёхмерном пространстве зацеплённые и не связанные кольца топологически эквивалентны?
2) Как я понял, функция $xsin (1/x)$ в области нуля подобна функции $f(x)=\sum \limits _{k=1}^{\infty } \frac{\sin \left(k^2 x\right)}{k^2}$ (нет производной)?
3) Автор пишет, что множество рациональных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. первых и вторых “одинаковое количество”. Я это совсем не понимаю. На рис 7.1 в книге видно, что целых чисел – только верхний ряд таблицы, а рациональных чисел – половина таблицы. Каждому целому числу соответствует несколько дробей, а каждой дроби соответствует только одно целое число. Как же получается что тех и других одинаковое множество?

[Dan B-Yallay]

Linkey в сообщении #889066 писал(а):

Автор пишет, что множество рациональных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. первых и вторых “одинаковое количество”. Я это совсем не понимаю.... Как же получается что тех и других одинаковое множество?

Вот вы и сами дошли до ответа на свой первоначальный вопрос (один из...):

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

Всегда ли интуиция так работает?

Напрягаийте вашу интуицию дальше. Может чего хорошего и получится. Хотя без логики - навряд ли.

[ghetto]

Linkey в сообщении #889066 писал(а):

3) Автор пишет, что множество рациональных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. первых и вторых “одинаковое количество”. Я это совсем не понимаю. На рис 7.1 в книге видно, что целых чисел – только верхний ряд таблицы, а рациональных чисел – половина таблицы. Каждому целому числу соответствует несколько дробей, а каждой дроби соответствует только одно целое число. Как же получается что тех и других одинаковое множество?

В этой матрице собраны все рациональные числа. Теперь начните их считать в направлений стрелок:

1/1 есть первый элемент множества $\mathbb Q$.

2/1 есть второй элемент множества $\mathbb Q$.

1/2 есть третьи элемент множества $\mathbb Q$.

и так далее.

Очевидно что на каждый элемент $\mathbb Q$ приходится по-одному элементу $\mathbb N$, то есть эти два множества имеют одиаковое количество элементов.

[mishafromusa]

Linkey в сообщении #889066 писал(а):

А второе означает, что в четырёхмерном пространстве зацеплённые и не связанные кольца топологически эквивалентны?

Скорее это означает, что в 4-мерном пространстве зацепленных колец не бывает, если под кольцами понимать одномерные контуры, там слишком много места, и их всегда можно расцепить, используя четвёртое измерение. Можно представлять себе четвёртое измерение, скажем, как температуру, или чёрно-белый оттенок.
-- 20.07.2014, 22:01 --

Dan B-Yallay в сообщении #889069 писал(а):

Напрягаийте вашу интуицию дальше. Может чего хорошего и получится. Хотя без логики - навряд ли.

Я бы посоветовал развивать интуицию вместе с логикой, чтобы они работали по возможности сообща, а не игнорировали друг друга.

-- 20.07.2014, 22:19 --

Linkey в сообщении #889066 писал(а):

) Автор пишет, что множество рациональных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. первых и вторых “одинаковое количество”. Я это совсем не понимаю.

В этом состоит парадокс бесконечности, с одной стороны -- чётных чисел в 2 раза меньше, чем натуральных, а с другой -- столько же, т.к. каждому натуральному числу однозначно отвечает его удвоение, а каждому чётному -- его половина.

[Dan B-Yallay]

mishafromusa в сообщении #889075 писал(а):

Я бы посоветовал развивать интуицию, вместе с логикой, чтобы они работали по возможности сообща, а не игнорировали друг друга.

Я бы тоже так посоветовал, но данный товарищ мало дружит с логикой. Или стесняется эту дружбу показывать.

[mishafromusa]

Dan B-Yallay в сообщении #889077 писал(а):

Я бы тоже так посоветовал, но данный товарищ мало дружит с логикой. Или стесняется эту дружбу показывать.

Может он и подружиться, если его меньше бить логикой по голове.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #889078 писал(а):

Может он и подружиться, если его меньше бить логикой по голове.

Ну попробуйте его ею погладить...

[mishafromusa]

Dan B-Yallay в сообщении #889079 писал(а):

Ну попробуйте его ею погладить...

Так и нужно, а не как здесь некоторые, чуть что -- сразу издеваться, или образованность свою выставлять на показ.

-- 20.07.2014, 23:54 --

Linkey в сообщении #889066 писал(а):

“одинаковое количество"

Можно понимать разными способами, и надо сначала договориться о том, что мы понимаем под одинаковым количеством, что в случае бесконечных множеств не так уж очевидно.

[Munin]

Linkey в сообщении #889066 писал(а):

Автор пишет, что в четырёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку сферу и разъёдинить два зацеплённых кольца, не разрывая их. Первое я вроде понял: это то же самое, что перевернуть в трёхмерном пространстве замкнутую кривую (вращать верёвочку в форме круга на 180 градусов вокруг самой верёвочки).

Нет, выворачивание сферы наизнанку - более сложная штука.

YouTube: Как вывернуть сферу наизнанку? (1/2)
YouTube: Как вывернуть сферу наизнанку? (2/2)

mishafromusa в сообщении #889087 писал(а):

Так и нужно, а не как здесь некоторые

С данным товарищем уже по-всякому пробовали, безрезультатно. Если вы такой храбрый портняжка, пробуйте сами, вот только других не поучайте, пока сами успеха не добились.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #889144 писал(а):

Нет, выворачивание сферы наизнанку - более сложная штука.

Вывернуть наизнанку 2-мерную сферу в 4-мерном пространстве -- проще простого, и ролики совсем не про это, а про парадокс Смейла: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%BB%D0%B0