Докажите, что если

- целое число и

, то существует

, такое, что

дает полный квадрат, где

.
Доказательство.

верно для всех целых

.
Надо показать, что для всех

,

полный квадрат. Поскольку нет

, таких что

полный квадрат для

, мы утверждаем, что наше предположение верно для

.
Если

, то

не является целым числом, поэтому указанное выше неравенство не будет действительным, так как мы знаем, что

является положительным целым числом. Mы проверим эти случаи по отдельности.
Пусть

.
Тогда

является полным квадратом. Также

,

,

и

.
Так что достаточно доказать наше утверждение для

.
Если

, то

.
Из неравентсва

следует

.
Поскольку

, мы позволим

.
Чтобы оправдать наш выбор

и доказать наше утверждение, мы также должны показать, что

является полным квадратом и

:

.





.
----------------------------------
Видно, что

сконструирован из неравенсtва

. Означает ли это, что если мы докажем любое утверждение относительно

, то оно будет спарведливо для всех

Если

,

не может быть целым числом. Как это влияет на утверждение, что док-во спаведливо для всех

? Также если

,

не может равняться

. Если у кого есть время пожалуйста обьясните эти моменты.