2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 20:58 
Нужно найти длину кривой $\sqrt{x/a} + \sqrt{y/b} = 1$.
Я решил перейти к параметрической форме:
$ t \in [0, \pi/2] $
$x = a \sin^2t$
$y = b (1 - \sin t)^2$
$x' = 2a \sin t \cos t$
$y' = 2b(\sin t \cos t - \cos t)$
$\int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{x'^2(t) + b'^2(t)} dt = \int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{4 \cos^2t (\sin^2t(a^2 + b^2) - 2b^2 \sin t + b^2)} dt$
Дальше я снова делаю замену $z = \sin t$:
$\int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{x'^2(t) + b'^2(t)} dt = 2 \int\limits_0^{1} \sqrt{ (z^2(a^2 + b^2) - 2b^2 z + b^2)} dz$
Вроде бы я уже близок к решению, но у меня такое чувство, что я еду из Москвы в Тулу через Владивосток. Может кто подскажет, как тут было бы более эффективно решить данную задачу?

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 21:28 
Аватара пользователя
Параметризация конечно у вас ужасная. Вот у вас кривая задается уравнением y=f(x). Как параметризовать ее проще всего?

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 21:43 
Аватара пользователя
main.c, действительно, в параметризации можно обойтись без тригонометрических функций.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 22:09 
Shtorm в сообщении #888819 писал(а):
main.c, действительно, в параметризации можно обойтись без тригонометрических функций.

demolishka в сообщении #888816 писал(а):
Параметризация конечно у вас ужасная. Вот у вас кривая задается уравнением y=f(x). Как параметризовать ее проще всего?

Да, наверное лучше было бы сделать так:
$x = t$
$y = b(1- \sqrt{\frac{t}{a}})^2$
Я не хотел, чтобы были корни в параметрическом уравнении, очень не люблю с ними работать, поэтому параметризовал через синус.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение19.07.2014, 22:23 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #888825 писал(а):
Да, наверное лучше было бы сделать так:
$x = t$
$y = b(1- \sqrt{\frac{t}{a}})^2$


Делать такую параметризацию, в данном случае, смысла воообще нет, ибо это равносильно явному выражению $y$ через $x$ без всякого параметра. Это я к тому, что после того, как выразим $y$ через $x$ в явном виде - просто подставляем в формулу длины дуги для функции заданной как $ y=f(x)$. Но можно конечно и так решать.
Я подобрал вот какую параметризацию:
$$
\begin{cases}
 x=at^2,&\ \ t\in[0,1]\\
 y=b(1-t)^2&
\end{cases}
$$

но даже при такой параметризации в итоге придётся выделять под корнем полный квадрат, возиться с громоздкимии коэффициентами, а потом ещё дальше либо замена, либо по частям - тоже всё громоздко и неприятно.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 13:58 
можно и параметризацией через тригонометрию по-другому

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 16:00 
main.c в сообщении #888811 писал(а):
Нужно найти длину кривой $\sqrt{x/a} + \sqrt{y/b} = 1$.

Если использовать параметризацию $x_1^2=\sqrt{x/a}$ и $y_1^2=\sqrt{y/b}$, то $x_1^2+y_1^2=1$.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 17:04 
Аватара пользователя
Sinoid в сообщении #889190 писал(а):
можно и параметризацией через тригонометрию по-другому


Имеется ввиду такая параметризация?:
$$
\begin{cases}
 x=a\sin^4t,&\ \ t\in[0,\frac{\pi}{2}]\\
 y=b\cos^4t&
\end{cases}
$$

Но там под корнем получится ли преобразовать к виду, чтобы взять интеграл?

Да, после замены тригонометрической функции на новую переменную опять получим под корнем неполный квадрат с аналогичными коэффициентами. Так что выгоды ни какой. Лучше ту параметризацию с квадратом.

-- Пн июл 21, 2014 17:18:30 --

Skeptic в сообщении #889211 писал(а):
Если использовать параметризацию $x_1^2=\sqrt{x/a}$ и $y_1^2=\sqrt{y/b}$, то $x_1^2+y_1^2=1$.


То есть, сначала вводим новую систему координат, а потом уже...

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 22:40 
Shtorm в сообщении #889220 писал(а):
Но там под корнем получится ли преобразовать к виду, чтобы взять интеграл?

Вы бы хоть не полностью параметризацию писали.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение21.07.2014, 23:10 
Shtorm в сообщении #889220 писал(а):
Так что выгоды ни какой.
Ага. Ни какой. Ни когда. Ни куда не годится.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение23.07.2014, 14:30 
Аватара пользователя
Shtorm в сообщении #889220 писал(а):
Но там под корнем получится ли преобразовать к виду, чтобы взять интеграл?

Получится.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение23.07.2014, 16:48 
Аватара пользователя
bot, Вы имеете ввиду, что вот такой интеграл получится
$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}(1+\cos2t)^2 - a^2 (1+\cos2t) + a^2}\ \ d(1+\cos2t)$$

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 11:31 
Аватара пользователя
Я не вычислял - просто навскидку сказал. Ясно было, что аргумент удвоится и под корнем квадратный трёхлен окажется, очевидно без действительных корней. Ну вот и подвердилось и теперь он уже почти табличный.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 14:28 
main.c в сообщении #888811 писал(а):
Дальше я снова делаю замену $z = \sin t$:
$\int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{x'^2(t) + b'^2(t)} dt = 2 \int\limits_0^{1} \sqrt{ (z^2(a^2 + b^2) - 2b^2 z + b^2)} dz$

Оно так, конечно; но к чему все эти пляски с бубнами и параметризациями?... Если в лоб выразить игрек через икс, то сходу получается $\int\limits_0^{\sqrt{a}}\sqrt{1+b^2\left(\frac1a-\frac1{\sqrt{ax}}\right)^2}\;dx$, который после напрашивающейся замены $\sqrt{x}=z\sqrt{a}$ автоматически к Вашему последнему и сведётся. А дальше уж увы -- этот интеграл никак и ничем не упростишь; какой получился, такой и получился. Но и берётся он совершенно стандартно -- или, если лень считать вручную, то тупо выписывается из любой хоть мало-мальски расширенной таблицы.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 15:28 
Аватара пользователя
bot в сообщении #889855 писал(а):
Я не вычислял - просто навскидку сказал. Ясно было, что аргумент удвоится и под корнем квадратный трёхлен окажется, очевидно без действительных корней. Ну вот и подвердилось и теперь он уже почти табличный.


Да. Но посмотрите, после замены переменной получится интеграл аналогичный тому, что получил ТС в первом сообщении темы, причём всяких тригонометрических преобразований у него явно меньше было. Поэтому- то я и написал, что особого смысла не было. Но самое быстрое и эффективное решение по-прежнему остаётся с использованием параметризации:
Shtorm в сообщении #888826 писал(а):
Я подобрал вот какую параметризацию:
$$
\begin{cases}
 x=at^2,&\ \ t\in[0,1]\\
 y=b(1-t)^2&
\end{cases}
$$


Тут просто меньше действий нужно делать.

ewert в сообщении #889883 писал(а):
Если в лоб выразить игрек через икс, то сходу получается $\int\limits_0^{\sqrt{a}}\sqrt{1+b^2\left(\frac1a-\frac1{\sqrt{ax}}\right)^2}\;dx$,


А почему верхний предел интегрирования равен $\sqrt{a}$ ? Он должен равняться просто $a$.

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group