Эффективность математической интуиции

[Linkey]

Цитата:

Не годится. Интуиция плохой помощник. Определение должно быть таким, чтобы можно было руководствоваться логикой.

Хочу высказать в свою защиту тезис, что интуиция в математике обычно эффективно помогает решать задачи и делать открытия. Я прочёл две книги Д. Пойа, и в них приводится много таких примеров. Вот некоторые из этих примеров (для других надо делать рисунки):

- Интуитивно ясно, что из всех фигур одинаковой площади круг обладает наименьшим периметром;
- Интуитивно ясно, что из всех фигур одинакового объёма шар обладает наименьшей площадью поверхности;
- Интуитивно ясно, что простых чисел должно быть бесконечно много;
- В книге “Математика и правдоподобные рассуждения” описано, как Архимед с помощью физической интуиции открыл базовые основы интегрального счисления, найдя объём шара.

Всегда ли интуиция так работает? В каких задачах ответ виден интуитивно, но не виден логически? Если я правильно понял, разница между потенциальной и актуальной бесконечностью ясна интуитивно?

[Shtorm]

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

разница между потенциальной и актуальной бесконечностью ясна интуитивно?

Как можно увидеть между ними разницу, если не знать определения каждого из этих терминов? А вот уже в конкретных задачах, зная определение, где они могут использоваться, возможно где-то сразу понятно - актуальная там или потенциальная бесконечность.

[Dan B-Yallay]

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

Всегда ли интуиция так работает?

Не всегда.

Linkey писал(а):

В каких задачах ответ виден интуитивно, но не виден логически?

В некоторых.

Linkey писал(а):

Если я правильно понял, разница между потенциальной и актуальной бесконечностью ясна интуитивно?

Someone в сообщении #888538 писал(а):

В математике термин "бесконечность" используется в нескольких разных смыслах, однако терминов "актуальная бесконечность" и "потенциальная бесконечность" в математике нет, поскольку нет способа отличить одно от другого. Эти термины встречаются в околоматематических философствованиях.

[Aritaborian]

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

Интуитивно ясно, что простых чисел должно быть бесконечно много;

С чего бы вдруг? А если в этом утверждении заменить «простых» на «совершенных», оно тоже будет для вас интуитивно ясным?

[Munin]

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

Я прочёл две книги Д. Пойа

Книги Пойа имеют примерно такое же отношение к математике, как ползунки - к поездам, кораблям и самолётам.

[Dan B-Yallay]

Осталось спросить у ТС, каких чисел больше: рациональных или целых. И дать задачку про корзину с вкладыванием-выкладыванием бесконечного числа шаров.
Пусть напряжёт свою интуицию. Или клеит шаблон.

[mihailm]

Munin в сообщении #888556 писал(а):

...Книги Пойа имеют примерно такое же отношение к математике, как ползунки - к поездам, кораблям и самолётам.

Да ну? Пойа - это крупный математик первой половины 20 века. А его (в соавторстве) задачи и теоремы из анализа до сих хороши.
Та что для учителей Как решать задачу простая, а Математика и правдоподобные рассуждения это сила.

[Munin]

Dan B-Yallay в сообщении #888558 писал(а):

Осталось спросить у ТС

Как показывает практика, бесполезно. Через неделю он выплеснет новую глупость.

[Dan B-Yallay]

Munin

Это как пить дать.

[kp9r4d]

В книге Арнольда много задач с контринтуитивными (для некоторых) ответами, на глаз: 4, 13, 16, 26, 62

[Aritaborian]

А ещё можно вспомнить книгу В. Босса «Математика и интуиция».

[longstreet]

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

- Интуитивно ясно, что из всех фигур одинаковой площади круг обладает наименьшим периметром;
- Интуитивно ясно, что из всех фигур одинакового объёма шар обладает наименьшей площадью поверхности;

Факты о наименьшем значении длины/площади/объёма как раз часто контринтуитивны. Например, попробуйте сынтуитивить: какова минимальная площадь плоской фигуры, внутри которой всё ещё можно развернуть единичный отрезок на 360° (отрезок разрешается двигать и вращать)?

Linkey в сообщении #888538 писал(а):

В каких задачах ответ виден интуитивно, но не виден логически?

Например, неадекватны по простоте доказательства и формулировка теоремы Жордана: плоская замкнутая кривая без самопересеченй разбивает плоскость на две непересекающиеся области.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #888556 писал(а):

Книги Пойа имеют примерно такое же отношение к математике, как ползунки - к поездам, кораблям и самолётам.

Но в самолёт без ползунка так же неприлично лезть, как в математику без интуиции

[Linkey]

longstreet в сообщении #888646 писал(а):

Например, попробуйте сынтуитивить: какова минимальная площадь плоской фигуры, внутри которой всё ещё можно развернуть единичный отрезок на 360° (отрезок разрешается двигать и вращать)?

Вначале подумал, что круг, но потом осознал, что наверно это что-нибудь вроде четырёхконечной звезды.

longstreet в сообщении #888646 писал(а):

Например, неадекватны по простоте доказательства и формулировка теоремы Жордана: плоская замкнутая кривая без самопересеченй разбивает плоскость на две непересекающиеся области.

Странно, разве это не самоочевидная истина? Можно взять окружность, подвигать случайным образом её участки, ясно что фигура внутри окружности останется изолированной от внешнего пространства.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #888556 писал(а):

Книги Пойа имеют примерно такое же отношение к математике, как ползунки - к поездам, кораблям и самолётам.

Munin, наденьте ползунок! Неприлично сидеть голышом и изрекать с умным видом.