2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 твердое тело
Сообщение15.07.2014, 10:43 


10/02/11
6786
Опр. Назовем два твердых тела динамически эквивалентными, если при наложении на них систем сил с одинаковыми главными векторами и главными моментами относительно центров масс ,их движение описывается одинаковыми уравнениями.

Доказать, что всякое твердое тело динамически эквивалентно системе четырех материальных точек одинаковой массы, соединенных невесомыми жесткими стержнями.

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение15.07.2014, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Дайте ещё и определения "главных векторов" и "главных моментов". Это далеко не общепринятая терминология.

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение15.07.2014, 16:16 


10/02/11
6786
Пусть к телу приложены силы $\overline F_1,\ldots,\overline F_n$ в точках $ A_1,\ldots, A_n$ соответственно
главный вектор: $\overline F=\sum_{k=1}^n\overline F_k$
главный момент: $\overline M_S=\sum_{k=1}^n[\overline{SA}_k,\overline F_k]$, где $S$ -- центр масс :D

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение15.07.2014, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
Собственно, о движении здесь можно и не думать. Требуется лишь показать, что тензор инерции произвольного твёрдого тела можно сфабриковать означенными четырьмя точками.

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение16.07.2014, 00:00 


10/02/11
6786
да, конечно, именно это и состапвляет суть задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение17.07.2014, 12:43 


10/02/11
6786
Введем ортонормированную систему $OXYZ$ и расположим точки массой $m$ каждая следующим образом
$$(x,0,z),\quad (-x,0,z),\quad (0,-y,-z),\quad (0,y,-z)$$
Центр масс этой системы точек находится в начале. Через $J_O$ обозначим оператор интерции этой системы точек, взятый в начале координат. Оси $X,Y,Z$ являюются главными осями $J_O$. Для любого диагонального оператора инерции $I$ можно так выбрать $x,y,z$ , что $J_O=I$. Есть существенная тонкость: матрица $I$ в этом утверждении должна быть матрицей оператора инерции, а не просто матрицей положительно определеной квадратичной формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение17.07.2014, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #888045 писал(а):
Есть существенная тонкость: матрица $I$ в этом утверждении должна быть матрицей оператора инерции, а не просто матрицей положительно определеной квадратичной формы.

Как это условие выглядит алгебраически? Я попытался разобраться, но не сумел обобщить ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение17.07.2014, 13:16 


10/02/11
6786
положительно определенный оператор $I=\mathrm{diag}\,(A,B,C)$ (записанный в ортонормированной системе координат) является оператором инерции iff $A+B\ge C,\quad A+C\ge B,\quad C+B\ge A$

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение17.07.2014, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я получил то же, но только для узкого частного случая. Какова идея доказательства в общем случае?

-- 17.07.2014 14:29:14 --

А впрочем... индукция? Нет, в обратную сторону ($\Leftarrow$) не получается.

-- 17.07.2014 14:48:50 --

Уточните название, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение17.07.2014, 13:49 


10/02/11
6786
Если $I$ это оператор инерции (необязательно диагональный), то для его диагональных элементов верны неравенства. Это проверяется просто для одной точки, а потом по адитивности.
Если верны неравенства, то диагональный оператор $I$ -- оператор инерции. Это следует из построенной конструкции.



У Голубева про это должно быть.

-- Чт июл 17, 2014 13:53:02 --

ЮФ Голубев Основы теор. механики

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение17.07.2014, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
У Голубева нет утверждения в обратную сторону ($\Leftarrow$). Кроме того, у него доказательство другое, чем у вас, и более понятное (мне, по крайней мере).

Oleg Zubelevich в сообщении #888064 писал(а):
а потом по адитивности

Это довольно сложно.

Oleg Zubelevich в сообщении #888064 писал(а):
Это следует из построенной конструкции.

Не следует, поскольку могут возникнуть более сильные неравенства, чем проверенные.

-- 17.07.2014 16:04:33 --

Довольно интересно. В разных областях физики вылезает один и тот же тензор $B=A-\tfrac{1}{2}\operatorname{Tr}A$ (где $A$ - симм. тензор 2 ранга). Кроме тензора инерции (у Голубева только что), я его встречал в теории относительности. Вы не объясните, какими такими чудесными свойствами обладает такой тензор?

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение17.07.2014, 19:43 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #888084 писал(а):
Не следует, поскольку могут возникнуть более сильные неравенства, чем проверенные.

ну как это не следует, следует. Я же предъвил твердое тело под оператор , удовлетворяющий неравенствам.

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение17.07.2014, 20:20 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=39333
http://e-science.ru/forum/index.php?s=& ... t&p=371743
В тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: твердое тело
Сообщение17.07.2014, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #888205 писал(а):
ну как это не следует, следует. Я же предъвил твердое тело под оператор , удовлетворяющий неравенствам.

Вы про это?
    Oleg Zubelevich в сообщении #888045 писал(а):
    Для любого диагонального оператора инерции $I$ можно так выбрать $x,y,z$ , что $J_O=I$.
Здесь опущены выкладки для $x,y,z.$

(Если что, сам вопрос для меня закрыт, в Голубеве всё написано.)

-- 17.07.2014 21:50:14 --

Nemiroff
Шкляроз...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group