временное уравнение Шредингера

[OcbMuHor]

У меня есть ряд значений x (координата), m (масса частицы), на основе которых требуется найти решение и построить графики временное уравнение Шредингера.
Не понимаю кое что в решении. Само уравнение:
$i \hbar \frac{\delta \Psi}{\delta t} = \hat{H} \Psi$
Путем различных решений/вычислений/преобразований приходим к решению:
$\Psi(q,t)=C_{n}f_{n}\left(q\right) \exp(-i \dfrac{E_{n}}{\hbar})$
Как мне найти собственную функцию $f(q)$ и собственные значения$E_{n}$?

[Munin]

Для этого нужно знать конкретный вид оператора $\widehat{H}.$ Тогда для него можно поставить и решить задачу на собственные функции и значения.

Кстати, в левой части уравнения Шрёдингера стоит частная производная, а не то, что вы написали. Частная производная пишется со значком $\partial$ \partial.

А по ряду значений $x$ и $m$ ничего построить нельзя...

[OcbMuHor]

Munin, благодарю Вас. Каким образом я могу узнать конкретный вид гамильтониана? Покажите пожалуйста как поставить и решить задачу для оператора гамильтона. График я собираюсь строить по x,y в t-зависимости.

[Munin]

Встречный вопрос: а какая у вас квантовая система?

Если брать классическую систему, и её квантовать, то классический гамильтониан будет строиться, как в ЛЛ-1 (Ландау, Лифшиц "Теоретическая физика 1. Механика"). При квантовании, переменные $p$ и $q$ будут заменяться соответствующими операторами. Это описано в ЛЛ-3 (Ландау, Лифшиц "Теоретическая физика 3. Квантовая механика").

В простых стандартных случаях гамильтониан уже известен, и написан в учебниках, типа ЛЛ-3. Например, если у вас одна частица, совершающая одномерное движение, то гамильтониан будет $\dfrac{-\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x),$ где $U(x)$ - потенциальная энергия (для свободной частицы $U=0$). Если трёхмерное движение - то $\dfrac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(x,y,z).$ Если несколько частиц - то $\displaystyle\sum\dfrac{-\hbar^2}{2m_k}\nabla_k^2+U(x_1,y_1,z_1,\ldots,x_n,y_n,z_n).$ Здесь подразумеваются бесспиновые частицы, со спином будет ещё сложнее, но идея та же.

[OcbMuHor]

Munin, благодарю Вас за пояснение. Теперь, когда известен гамильтониан
$\dfrac{- \hbar^{2}}{2m} \dfarc{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+U\left(x\right)$, как найти его собственную функцию $f(q)$ и собственное значение $E_{n}$?

[Munin]

Для этого надо решить дифференциальное уравнение

$$\widehat{H}f_n(x)=E_n f_n(x)$$

с неизвестными $f_n(x),E_n$ (в математике эта задача называется задача Штурма-Лиувилля). Поскольку вы не задали конкретную функцию $U(x),$ то конкретно и сказать ничего нельзя: можно только решать это уравнение как ОДУ с параметром.

Для частного случая $U=0$ собственные функции - $a_k\sin kx+b_k\cos kx,$ а собственные значения $E_k=\hbar^2 k^2/2m.$

[OcbMuHor]

Munin, и еще раз Вам благодарность за пояснения. Из того что у меня в качестве входных данных есть только x-координаты и m масса частицы, я могу сделать вывод что как раз таки U -- потенциальная энергия равна нулю (ибо вычислить не представляется возможным) и частный случай -- именно то что мне нужно. Скажите еще мне пожалуйста что значат коэффициенты $a, b, k$. И еще вопрос: в формуле первого поста есть произвольная постоянная $C_{n}$. Произвольная здесь понимается буквально? Т.е. я свободно могу взять любое число (отличное от 0), скажем 1? Если нет, то как ее найти?

[Sicker]

Вам тогда нужно знать начальные условия

[Munin]

OcbMuHor в сообщении #887888 писал(а):

Из того что у меня в качестве входных данных есть только x-координаты и m масса частицы

Тогда непонятно, что это вообще за входные данные. Они никакого отношения к уравнению Шрёдингера не имеют вообще.

[OcbMuHor]

Спасибо всем за внимание к проблеме.
Munin, и все таки что значат переменные

$$a,b,k$$

?
Sicker, о каких начальных условиях Вы говорите?

[Sicker]

Ну вы спрашивали про коэффициенты в первом сообщении, ну дык они определяются из начальных условий

[OcbMuHor]

Sicker, благодарю Вас за ответ. У меня нет никаких условий, есть только входные данные в виде координат и масс. Всё.

[Sicker]

А вероятности пребывания в этих координатах не заданы?

[OcbMuHor]

Считается что частица 100% находится в заданной точке.

[Sicker]

Лол, те волновая функция представляет собой дельта-функцию?