2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определители и СЛАУ
Сообщение16.07.2014, 13:45 
 i  Toucan:
Отделено от темы «Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений»

ex-math в сообщении #887863 писал(а):
Как я понял, эта задача встретилась после определителей и ранга, но до систем.

Теоретически это не исключено, но практически подобное построение курса есть явное издевательство. Теория систем гораздо проще теории определителей.

 
 
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 15:28 
Аватара пользователя
ewert
Ну не знаю... По-моему, определители являются удобным аппаратом для построения теории линейных систем. В конце концов, через них определяется ранг, вычисляется обратная матрица, формулируется правило Крамера. И обычно они всегда идут в самом начале курса вместе со свойствами и параллельно с линейной зависимостью. Чтобы говорить о системах нужно и то и то, плюс еще понятие о действиях с матрицами.

 
 
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 15:59 
Для того, чтобы говорить о системах, определителей не нужно совсем (и даже матрицы необязательны). Определять же ранг системы через миноры, а уж тем более через них вычислять обратную матрицу — это просто извращение. Для этого есть метод Гаусса.

 
 
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 18:03 
Joker_vD в сообщении #887880 писал(а):
Определять же ранг системы через миноры, а уж тем более через них вычислять обратную матрицу — это просто извращение. Для этого есть метод Гаусса.

Всё в этом мире относительно. Это извращение с вычислительной точки зрения, но отнюдь не с точки зрения построения курса. К моменту введения понятия обратной матрицы определители всё-таки уже должны быть. И ранг тоже лучше формально определять через миноры -- так симметричнее.

Но вот определять ранг до систем -- бессмысленно абсолютно. Просто потому, что он вне систем никому и не нужен. Да и сами определители как таковые, в общем, тоже.

-- Ср июл 16, 2014 19:30:03 --

ex-math в сообщении #887878 писал(а):
И обычно они всегда идут в самом начале курса вместе со свойствами и параллельно с линейной зависимостью.

Это в учебниках они иногда идут так. А вот попробуйте именно в таком порядке лекции прочитать -- ничего хорошего не выйдет. Учебники и лекционные курсы -- это разные жанры.

 
 
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 21:26 
Аватара пользователя
ewert
В том то и дело, что приходилось читать. Правда, курс был сильно урезанный, там системами все и заканчивалось. Ну как быть, например, с теоремой Кронекера-Капелли без ранга?
Joker_vD
Говорить-то о системах можно и нужно сразу. Но если иметь в виду "одномоментное" построение теории, то надо уже располагать определителями и рангом.

 
 
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 21:45 
ex-math в сообщении #887922 писал(а):
Правда, курс был сильно урезанный, там системами все и заканчивалось. Ну как быть, например, с теоремой Кронекера-Капелли без ранга?

Во-первых, в сильно урезанном курсе эта теорема никому и нахрен не нужна. А во-вторых,

ex-math в сообщении #887922 писал(а):
если иметь в виду "одномоментное" построение теории, то надо уже располагать определителями и рангом.

-- для достаточно полноценной (с точки зрения приложений) теории СЛАУ как таковых не нужны ни определители, ни тем более ранги. Это уж потом их можно пристегнуть как приятственные бантики.

 
 
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 22:05 
ewert в сообщении #887898 писал(а):
Но вот определять ранг до систем -- бессмысленно абсолютно. Просто потому, что он вне систем никому и не нужен.
:twisted:
Почему не нужен? Я где-то читал, что ранг матрицы равен размерности линейного пространства, порожденного ее столбцами. По некоторым данным, эта геометрическая интерпретация весьма важна.

 
 
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 22:11 
ну как почему не нужен? потому, что к чтению курсов в которых говорят "ранг" их еще подпускают, а к чтению курсов , в которых говорят "размерность образа" уже нет :mrgreen:

 
 
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение16.07.2014, 22:14 
Если кому любопытно, то я полюбопытствовал (в недрах винчестера), когда читал этот курс последний раз. Оказалось, что чуть более трёх лет назад. Вот список экзаменационных вопросов (вполне согласованных с порядком прочтения):

Цитата:
1. Определение комплексного числа. Алгебраическая форма записи.
2. Модуль комплексного числа и комплексное сопряжение, их свойства. Деление комплексных чисел.
3. Полярные координаты на плоскости и их связь с декартовыми.
4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Свойства модуля и аргумента.
5. Формулы Муавра для возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа.
6. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа.
7. Гиперболические функции и их свойства.
8. Многочлены и действия над ними. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
9. Кратность корня многочлена и её связь с производными.
10. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Разложение многочлена на вещественные и на комплексные множители.
11. Матрицы и линейные операции над ними. Транспонирование.
12. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
13. Формулы Крамера для систем линейных уравнений 2-го порядка. Определители 2-го порядка и их свойства.
14. Аксиоматическое определение определителя и его простейшие свойства.
15. Перестановки. Обратная перестановка, транспозиции, чётность перестановки.
16. Общая формула для определителя произвольного порядка. Определитель транспонированной матрицы.
17. Разложение определителя по строке (столбцу).
18. Теорема о сумме произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки.
19. Вычисление определителя методом Гаусса. Определитель треугольной матрицы.
20. Формулы Крамера для систем линейных уравнений произвольного порядка.
21. Умножение матриц и его свойства. Матричная запись системы линейных уравнений.
22. Определитель произведения матриц.
23. Обратная матрица и её свойства.
24. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
25. Решение матричных уравнений. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.
26. Векторная алгебра: линейные операции над векторами, скалярное произведение.
27. Проекция вектора на ось и компонента на оси, их связь между собой и со скалярным произведением.
28. Доказательство линейности скалярного произведения. Координатное представление скалярного произведения.
29. Векторное произведение: геометрическое определение, простейшие свойства.
30. Смешанное произведение и его свойства. Правые и левые тройки векторов.
31. Доказательство линейности векторного произведения.
32. Правые и левые системы декартовых координат. Координатные представления для векторного и смешанного произведений.
33. Двойное векторное произведение. Неассоциативность векторного произведения.
34. Уравнения плоскости в пространстве: общее, через три точки, в отрезках.
35. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
36. Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические, связь между ними.
37. Эллипс и его уравнение в полярных координатах.
38. Гипербола и её уравнение в полярных координатах.
39. Парабола и её уравнение в полярных координатах.
40. Преобразования координат на плоскости: сдвиг, отражение, поворот.
41. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
42. Уравнения эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах.
43. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, конус.
44. Поверхности второго порядка: параболоиды, цилиндры.
45. Линейная независимость строк матрицы и её связь с определителем в случае квадратной матрицы.
46. Определение ранга матрицы через миноры и его связь с линейной независимостью строк (столбцов).
47. Теорема Кронекера-Капелли.


Пара комментариев.

1). 12-й вопрос -- про метод Гаусса -- на лекциях отнял довольно много времени, практически целую лекцию, но в экзаменационные билеты фактически не включался, слишком много там было размахиваний руками (практически очевидных) и маловато того, что можно компактно формализовать.

2). Последние три вопроса -- вставлены лишь для порядка (в билеты опять же не включались), т.к. последняя лекция вообще читалась лишь в качестве добивки, для моральной подготовки ребят к более серьёзному курсу ЛА в следующем семестре. Который предполагалось читать уже не мне (как и случилось).

Пардон. Только сейчас (спустя три с половиной года) заметил: в вопросы 37-39 вкралась никому не нужная полярность. И что занятно -- никто из студентов тоже даже и внимания на это не обратил, все отвечали по существу. Т.е. в соответствии с конспектным упорядочением параграфов.

 
 
 
 Re: Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений
Сообщение17.07.2014, 08:08 
Аватара пользователя
ewert
Ну как же может быть нахрен не нужен критерий существования решения? Конечно, на семинаре все решается методом Гаусса, но и общую картину неплохо бы представлять. А для этого метод Гаусса не очень подходит, как раз из-за неудобства формализации.

 
 
 
 Re: Определители и СЛАУ
Сообщение17.07.2014, 11:19 
Аватара пользователя
 i  Toucan:
Отделено от темы «Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений»

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group