2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Дифференциальное уравнение с параметрами, устойчивость.
Сообщение15.07.2014, 17:45 
При каких действительных значениях параметров $a$ и $b$ функция $y=e^{-x}$ является устойчивым по Ляпунову решением дифференциального уравнения $y'''+ay''+by'+y=0$, но не является асимптотически устойчивым?

Думаю начать нужно с определений:

Решение $y=e^{-x}$ будет устойчивым по Ляпунову если возмущения не сильно будут менять характер решения. То есть $|e^{-(x+\delta)}|<\varepsilon$. так?

Но не является асимптотическим, это значит
что $\lim_{x \to \infty}|e^{-x}-e^{-(x+\delta)}|\ne0$


Нужно составить характеристическое уравнение, и посмотреть как параметры будут влиять на решение.
$$z^3+az^2+bz+1=0$$

У нас есть функция которая должна быть решением $y=e^{-x}$, что соответствует характеристическому корню $z=-1$

Вот тут я не знаю в какую степь зашел. Куда двигаться и откуда начинать? А самое главное как связать конкретные уравнения с теоретическими определениями.

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение с параметрами, устойчивость.
Сообщение15.07.2014, 18:10 
Ну для начала посмотрите, когда это вообще решение.
А потом имеет смысл еще раз уточнить определения.

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение с параметрами, устойчивость.
Сообщение15.07.2014, 19:40 
Хорошо, давайте подставим, функцию $e^{-x}$ в исходное дифференциальное уравнение получим:

$$-e^{-x}+ae^{-x}-be^{-x}+e^{-x}=0$$

Любопытно получается, функция $y=e^{-x}$ является решением только при a=b
Для простоты будем обозначать эти коэффициенты просто $a$ в таком случае характеристическое уравнение принимает вид:
$$z^3+az^2+az+1=0$$ тут корень $-1$. Дальше можно разделить характеристическое уравнение на $z+1$ получить квадратное уравнение, но стоит ли?

Теперь по поводу устойчивости: решение $y=e^{-x}$ будет устойчивым по Ляпунову, если для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta(\varepsilon)>0$ такое, что для любого решения $y=y(x)$ этой же задачи удовлетворяющего неравенству $|y(x_0)-e^{-x_0}|<\delta(\varepsilon)$ при любом $x>x_0$ выполняется неравенство $|y(x)-e^{-x}|<\varepsilon$

для асимптотической устойчивости будет справедливо еще и $$\lim_{x \to \infty}|y(x)-e^{-x}|=0$$

Начальных условий у нас не дано, зато константа интегрирования равна в решении равна 1, которая определялась бы из условий $y(x_0)=ce^{-x_0}$ соответственно начальные условия $y(x_0)=e^{-x_0}$
Что делать дальше? Откуда взять второе решение? дорешавшая квадратное уравнение? Или оно должно быть абстрактным?

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение с параметрами, устойчивость.
Сообщение15.07.2014, 22:39 
А Вам именно по определению надо? Оно ж линейное, там много симпатичных результатов. Хотя можно и по определению, но уж очень долго получится, имхо.

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение с параметрами, устойчивость.
Сообщение16.07.2014, 13:23 
Firth в сообщении #887738 писал(а):
Теперь по поводу устойчивости: решение $y=e^{-x}$ будет устойчивым по Ляпунову, если для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta(\varepsilon)>0$ такое, что для любого решения $y=y(x)$ этой же задачи удовлетворяющего неравенству $|y(x_0)-e^{-x_0}|<\delta(\varepsilon)$ при любом $x>x_0$ выполняется неравенство $|y(x)-e^{-x}|<\varepsilon$

Совершенно неверно. Т.е. это формально так, если под игреком понимается вектор, являющийся решением некоторой системы уравнений первого порядка. У Вас же уравнение только одно, но зато Высшего порядка, поэтому надо переформулировать определение для этого случая, сведя формально это уравнение к системе первого порядка.

Firth в сообщении #887738 писал(а):
Дальше можно разделить характеристическое уравнение на $z+1$ получить квадратное уравнение, но стоит ли?

Не стоит, а обязательно.

Otta в сообщении #887772 писал(а):
Хотя можно и по определению, но уж очень долго получится, имхо.

Дело даже не в долготе или в широте, а в том, что анализ устойчивости в общем случае основан на линеаризации исходной задачи. Здесь же задачка с самого начала линейна.

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение с параметрами, устойчивость.
Сообщение16.07.2014, 13:27 
ewert в сообщении #887855 писал(а):
анализ устойчивости в общем случае основан на линеаризации исходной задачи

Это если по первому приближению, что, ясно, не всегда дает нужное.
Но да, это полемика, непринципиальная в данном случае, поскольку задача все равно линейна. )

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение с параметрами, устойчивость.
Сообщение16.07.2014, 13:39 
Кстати, постановка задачи:

Firth в сообщении #887715 писал(а):
является устойчивым по Ляпунову решением дифференциального уравнения $y'''+ay''+by'+y=0$, но не является асимптотически устойчивым?

-- выглядит как-то неэстетично. Явно не хватает вопроса: "а когда оно асимптотически устойчиво?"

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group