Дифференциальное уравнение с параметрами, устойчивость.

[Firth]

При каких действительных значениях параметров $a$ и $b$ функция $y=e^{-x}$ является устойчивым по Ляпунову решением дифференциального уравнения $y'''+ay''+by'+y=0$, но не является асимптотически устойчивым?

Думаю начать нужно с определений:

Решение $y=e^{-x}$ будет устойчивым по Ляпунову если возмущения не сильно будут менять характер решения. То есть $|e^{-(x+\delta)}|<\varepsilon$. так?

Но не является асимптотическим, это значит
что $\lim_{x \to \infty}|e^{-x}-e^{-(x+\delta)}|\ne0$


Нужно составить характеристическое уравнение, и посмотреть как параметры будут влиять на решение.

$$z^3+az^2+bz+1=0$$

У нас есть функция которая должна быть решением $y=e^{-x}$, что соответствует характеристическому корню $z=-1$

Вот тут я не знаю в какую степь зашел. Куда двигаться и откуда начинать? А самое главное как связать конкретные уравнения с теоретическими определениями.

[Otta]

Ну для начала посмотрите, когда это вообще решение.
А потом имеет смысл еще раз уточнить определения.

[Firth]

Хорошо, давайте подставим, функцию $e^{-x}$ в исходное дифференциальное уравнение получим:

$$-e^{-x}+ae^{-x}-be^{-x}+e^{-x}=0$$

Любопытно получается, функция $y=e^{-x}$ является решением только при a=b
Для простоты будем обозначать эти коэффициенты просто $a$ в таком случае характеристическое уравнение принимает вид:

$$z^3+az^2+az+1=0$$

тут корень $-1$. Дальше можно разделить характеристическое уравнение на $z+1$ получить квадратное уравнение, но стоит ли?

Теперь по поводу устойчивости: решение $y=e^{-x}$ будет устойчивым по Ляпунову, если для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta(\varepsilon)>0$ такое, что для любого решения $y=y(x)$ этой же задачи удовлетворяющего неравенству $|y(x_0)-e^{-x_0}|<\delta(\varepsilon)$ при любом $x>x_0$ выполняется неравенство $|y(x)-e^{-x}|<\varepsilon$

для асимптотической устойчивости будет справедливо еще и

$$\lim_{x \to \infty}|y(x)-e^{-x}|=0$$

Начальных условий у нас не дано, зато константа интегрирования равна в решении равна 1, которая определялась бы из условий $y(x_0)=ce^{-x_0}$ соответственно начальные условия $y(x_0)=e^{-x_0}$
Что делать дальше? Откуда взять второе решение? дорешавшая квадратное уравнение? Или оно должно быть абстрактным?

[Otta]

А Вам именно по определению надо? Оно ж линейное, там много симпатичных результатов. Хотя можно и по определению, но уж очень долго получится, имхо.

[ewert]

Firth в сообщении #887738 писал(а):

Теперь по поводу устойчивости: решение $y=e^{-x}$ будет устойчивым по Ляпунову, если для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta(\varepsilon)>0$ такое, что для любого решения $y=y(x)$ этой же задачи удовлетворяющего неравенству $|y(x_0)-e^{-x_0}|<\delta(\varepsilon)$ при любом $x>x_0$ выполняется неравенство $|y(x)-e^{-x}|<\varepsilon$

Совершенно неверно. Т.е. это формально так, если под игреком понимается вектор, являющийся решением некоторой системы уравнений первого порядка. У Вас же уравнение только одно, но зато Высшего порядка, поэтому надо переформулировать определение для этого случая, сведя формально это уравнение к системе первого порядка.

Firth в сообщении #887738 писал(а):

Дальше можно разделить характеристическое уравнение на $z+1$ получить квадратное уравнение, но стоит ли?

Не стоит, а обязательно.

Otta в сообщении #887772 писал(а):

Хотя можно и по определению, но уж очень долго получится, имхо.

Дело даже не в долготе или в широте, а в том, что анализ устойчивости в общем случае основан на линеаризации исходной задачи. Здесь же задачка с самого начала линейна.

[Otta]

ewert в сообщении #887855 писал(а):

анализ устойчивости в общем случае основан на линеаризации исходной задачи

Это если по первому приближению, что, ясно, не всегда дает нужное.
Но да, это полемика, непринципиальная в данном случае, поскольку задача все равно линейна. )

[ewert]

Кстати, постановка задачи:

Firth в сообщении #887715 писал(а):

является устойчивым по Ляпунову решением дифференциального уравнения $y'''+ay''+by'+y=0$, но не является асимптотически устойчивым?

-- выглядит как-то неэстетично. Явно не хватает вопроса: "а когда оно асимптотически устойчиво?"