2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 ДУ высших порядков
Сообщение13.07.2014, 20:01 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Совсем затосковал с "ДУшкой"...
Решить нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:
$y''=\frac{1}{a}(1+{y'}^{2}),\ y(0)=0,\ y'(0)=0.$

Пробовал делать замену $y'=p$, $y''=pp'$, но ничего путного не вышло.
А, ну кажется вышел на верную дорожку:
$ay''=1+y'^2 \Leftrightarrow a(y'+1)'+2(y'+1)-2=(y'+1)^2,\ y'+1=t(y) \Rightarrow at'+2t-2=t^2.$
Окончательно получил, что $a\ln |\sin \frac{y}{a}|=x$, но в это мало верится.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.07.2014, 20:02 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Сами знаете. Попытки решения с Вас.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.07.2014, 01:37 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
1r0pb в сообщении #887114 писал(а):
А, ну кажется вышел на верную дорожку:
$ay''=1+y'^2 \Leftrightarrow a(y'+1)'+2(y'+1)-2=(y'+1)^2,\ y'+1=t(y) \Rightarrow at'+2t-2=t^2.$
Штрих у Вас производную по какой переменной обозначает?
И зачем там $t(y)$?

Вообще-то, это уравнение чего-то не содержит… И решается проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 01:45 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Всё проще
$\[y' = u\]$

и имеем ДУ с отделяющимися переменными

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 06:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #887228 писал(а):
ДУ с отделяющимися переменными

А от чего они отделяются?

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 08:56 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Ну да, прозевал: $(y'+1)'=tt'$. Но этим самым ДУ только усложняется. Попробовал снова через $y'=p(y),\ y''=pp'$, но пришел к такому: $\frac{a}{2} \ln(1+p^2)=y.$ А как дальше поступить? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 09:05 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
1r0pb
Я выше говорил, делайте в исходном уравнении замену $\[y' = u\]$, и не ищите длинных путей
bot

(Оффтоп)

Друг от друга

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 09:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Не надо понимать $y'$ как функцию от $y$. Сделайте замену $y'=z(x)$, как Вам и предлагают.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 10:30 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Ну тогда все просто. А если бы присутствовал $y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 10:36 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Вот тогда бы и посмотрели. Решение дифуров бывает очень индивидуальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 11:07 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Otta в сообщении #887302 писал(а):
Вот тогда бы и посмотрели.

Ну это понятно. Я про то, что, например, $y''+y=0$ уже не взять заменой $y'=u(x)$. Ведь так?
Otta в сообщении #887302 писал(а):
Решение дифуров бывает очень индивидуальным.

Трудно поспорить. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 19:46 


19/05/10

3940
Россия
1r0pb в сообщении #887321 писал(а):
...Ну это понятно. Я про то, что, например, $y''+y=0$ уже не взять заменой $y'=u(x)$. Ведь так?
Так, нужная замена $y'=u(y)$

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение14.07.2014, 19:57 
Аватара пользователя


25/02/11
234

(Оффтоп)

mihailm, ну да, это и хотел услышать.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ высших порядков
Сообщение16.07.2014, 05:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Неудачный пример - для уравнения $y''+y=0$ и вообще для уравнений с постоянными коэффициентами всё существенно проще.
А теперь попробуйте проломиться через понижение по предлагаемой замене.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group