ДУ высших порядков

[1r0pb]

Совсем затосковал с "ДУшкой"...
Решить нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

$y''=\frac{1}{a}(1+{y'}^{2}),\ y(0)=0,\ y'(0)=0.$

Пробовал делать замену $y'=p$, $y''=pp'$, но ничего путного не вышло.
А, ну кажется вышел на верную дорожку:
$ay''=1+y'^2 \Leftrightarrow a(y'+1)'+2(y'+1)-2=(y'+1)^2,\ y'+1=t(y) \Rightarrow at'+2t-2=t^2.$
Окончательно получил, что $a\ln |\sin \frac{y}{a}|=x$, но в это мало верится.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Сами знаете. Попытки решения с Вас.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

1r0pb в сообщении #887114 писал(а):

А, ну кажется вышел на верную дорожку:
$ay''=1+y'^2 \Leftrightarrow a(y'+1)'+2(y'+1)-2=(y'+1)^2,\ y'+1=t(y) \Rightarrow at'+2t-2=t^2.$

Штрих у Вас производную по какой переменной обозначает?
И зачем там $t(y)$?

Вообще-то, это уравнение чего-то не содержит… И решается проще.

[Ms-dos4]

Всё проще
$\[y' = u\]$

и имеем ДУ с отделяющимися переменными

[bot]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #887228 писал(а):

ДУ с отделяющимися переменными

А от чего они отделяются?

[1r0pb]

Ну да, прозевал: $(y'+1)'=tt'$. Но этим самым ДУ только усложняется. Попробовал снова через $y'=p(y),\ y''=pp'$, но пришел к такому: $\frac{a}{2} \ln(1+p^2)=y.$ А как дальше поступить?

[Ms-dos4]

1r0pb
Я выше говорил, делайте в исходном уравнении замену $\[y' = u\]$, и не ищите длинных путей
bot

(Оффтоп)

Друг от друга

[Otta]

Не надо понимать $y'$ как функцию от $y$. Сделайте замену $y'=z(x)$, как Вам и предлагают.

[1r0pb]

Ну тогда все просто. А если бы присутствовал $y$?

[Otta]

Вот тогда бы и посмотрели. Решение дифуров бывает очень индивидуальным.

[1r0pb]

Otta в сообщении #887302 писал(а):

Вот тогда бы и посмотрели.

Ну это понятно. Я про то, что, например, $y''+y=0$ уже не взять заменой $y'=u(x)$. Ведь так?

Otta в сообщении #887302 писал(а):

Решение дифуров бывает очень индивидуальным.

Трудно поспорить.

[mihailm]

1r0pb в сообщении #887321 писал(а):

...Ну это понятно. Я про то, что, например, $y''+y=0$ уже не взять заменой $y'=u(x)$. Ведь так?

Так, нужная замена $y'=u(y)$

[1r0pb]

(Оффтоп)

mihailm, ну да, это и хотел услышать.

[bot]

Неудачный пример - для уравнения $y''+y=0$ и вообще для уравнений с постоянными коэффициентами всё существенно проще.
А теперь попробуйте проломиться через понижение по предлагаемой замене.