Счетное количество решений задачи движения N тел

[Munin]

evgeniy в сообщении #886574 писал(а):

Переменная $x_l$ имеет континуум нулей правой части дифференциального уравнения

Простите, $x_l$ - вообще не переменная, это функция. Ставится задача отыскания этой функции.

Объясните всё-таки подробно этот переход, я настаиваю.

[evgeniy]

Переменная или функция $x_l $ имеет континуум координат положений равновесия, в которых правая часть дифференциального уравнения равна нулю. Формула аналогична конечному числу положений равновесия у функции $f(a_k)=0, f(x)=(x-a_1)...(x-a_N)\exp[g(x)]$, причем здесь не важно является ли x функцией многих переменных, или это просто аргумент.

[Munin]

evgeniy в сообщении #886689 писал(а):

Переменная или функция $x_l $ имеет континуум координат положений равновесия, в которых правая часть дифференциального уравнения равна нулю.

Укажите хотя бы одно такое положение равновесия. (Хорошо известно, что их нет вообще.)

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #873574 писал(а):

$ \frac{d^2 m_1 \vec r^{‘}}{ds_1^2}=- \frac{1}{\sqrt{1-V_1^{‘2}/c^2}} \frac{k m_1 m_2 (\vec r_2^{‘}-\vec r_1^{‘})}{|\vec r_2^{‘}-\vec r_1^{‘}|^3}$

У данного уравнения рассматривая его относительно переменной $r_{x 1}$. ищутся положения равновесия относительно этой переменной, имеется континуум положения равновесия $r_{2x}=r_{1x}$, при условии $r_{2y} \ne r_{1y}$

[Munin]

Munin в сообщении #886707 писал(а):

Укажите хотя бы одно такое положение равновесия.

[evgeniy]

Пишется отдельно уравнения относительно переменных $y=r_{1x}$. Тогда положения равновесия $y=r_{2x}$, причем их имеется континуум.

[Munin]

Это система уравнений, а не отдельные уравнения.

Munin в сообщении #886707 писал(а):

Укажите хотя бы одно такое положение равновесия.

[evgeniy]

Да действительно для двух тел не получается найти координаты положения равновесия имеются только полюса. Но для трех тел, координаты положения равновесия существуют. В самом деле уравнения сводятся
$\alpha (x_l-y_l)+\beta (z_l-y_l)=0$
$\alpha_1 (x_l-z_l) + \beta (y_l-z_l)=0$
третье уравнение получается комбинацией первых двух. Складывая эти два уравнения, получим третье с обратным знаком
$\alpha (x_l-y_l)+\alpha_1 (x_l-z_l)=0$
Причем зафиксировав одну переменную, остальные получат определенные разные значения, причем не равные.
$x_l=y_l=z_l$

[Munin]

evgeniy в сообщении #887368 писал(а):

Да действительно для двух тел не получается найти координаты положения равновесия

Ну наконец-то.

А для трёх тел - тот же вопрос:

Munin в сообщении #886707 писал(а):

Укажите хотя бы одно такое положение равновесия.

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #887368 писал(а):

Но для трех тел, координаты положения равновесия существуют. В самом деле уравнения сводятся
$\alpha (x_l-y_l)+\beta (z_l-y_l)=0$
$\alpha_1 (x_l-z_l) + \beta (y_l-z_l)=0$
третье уравнение получается комбинацией первых двух. Складывая эти два уравнения, получим третье с обратным знаком
$\alpha (x_l-y_l)+\alpha_1 (x_l-z_l)=0$
Причем зафиксировав одну переменную, остальные получат определенные разные значения, причем не равные.
$x_l=y_l=z_l$

Фиксируем y_l. Получаем систему уравнений
$\alpha x_l+\beta z_l=\alpha y_l+\beta y_l$
$\alpha_1 x_l-(\alpha_1+\beta) z_l=-\beta y_l$
из этой системы нелинейных уравнений определятся $x_l,z_l $ как функции $y_l$ с помощью метода итераций.

[Munin]

evgeniy в сообщении #887401 писал(а):

Фиксируем y_l.

Гвоздиком? Это не положение равновесия.

[evgeniy]

Систему уравнений с переменной $y_l=y$ имеет положения равновесия $y=y_l \exp(2\pi k/3)$ , так как система уравнений инвариантна относительно умножения всех переменных на величину $\exp(2\pi i/3)$. уравнение запишется в виде
$\frac {d^2 y}{ds^2}=\frac{\exp[\int p(\alpha)\ln(y-\alpha)d\alpha]/\int p(\alpha)d\alpha}{\exp[\int p(\alpha,\beta)\ln[y-c(\alpha,\beta)]d\alpha d\beta/\int p(\alpha,\beta)d\alpha d\beta]}$
причем интеграл представим в виде с помощью теоремы о среднем
$\int p(\alpha)\ln(y-\alpha)d\alpha/\int p(\alpha)d\alpha=\ln(y-\alpha_1)\int p(\alpha)d\alpha/\int p(\alpha)d\alpha=\ln(y-\alpha_1)$
причем формула содержит множество таких слагаемых, соответствующих разным значениям y. Т.е. в формуле содержатся все слагаемые $\ln(y-\alpha_1) $ причем $y=\alpha_1+o(1) $ и интеграл содержит множество таких членов в не явном виде. Какое бы y мы бы не взяли найдется член $\ln(y-\alpha_1) $

[Munin]

Munin в сообщении #886707 писал(а):

Укажите хотя бы одно такое положение равновесия.

-- 14.07.2014 16:46:54 --

В формате:
$\begin{gathered}x_1=\ldots\\ y_1=\ldots\\ z_1=\ldots\\ x_2=\ldots\\ y_2=\ldots\\ z_2=\ldots\\ x_3=\ldots\\ y_3=\ldots\\ z_3=\ldots\end{gathered}$

[evgeniy]

$y_1,y_2,y_3$ произвольны. Вы хотите одно значение, задайте 1,2,3.
остальные значения определятся из системы нелинейных уравнений

evgeniy в сообщении #887401 писал(а):

$\alpha x_l+\beta z_l=\alpha y_l+\beta y_l$
$\alpha_1 x_l-(\alpha_1+\beta) z_l=-\beta y_l$

[Munin]

Через $k,m_1,m_2,m_3,$ пожалуйста.
И раз вы такой любитель непонятно выражаться: продемонстрируйте, что это положение равновесия, вычислив явно $d^2/dt^2$ от всех координат.