Счетное количество решений задачи движения N тел

[evgeniy]

Сила тяготения Ньютона в релятивистском приближении имеет простой вид в одной системе координат. Пусть имеем уравнение движения Ньютона для двух тел в штрихованной системе покоя. Я его выводил и надо уточнить выражение для действующей силы тяготения
$ \frac{d^2 m_1 \vec r^{‘}}{ds_1^2}=- \frac{1}{\sqrt{1-V_1^{‘2}/c^2}} \frac{k m_1 m_2 (\vec r_2^{‘}-\vec r_1^{‘})}{|\vec r_2^{‘}-\vec r_1^{‘}|^3}$
Где величина $V_1^{‘}$ скорость первого тела в штрихованной системе координат. Причем переменная $s_1$ определяется по формуле $ds_1=dt\sqrt{1-V_1^{‘2}/c^2}$.
Осуществим преобразование Лоренца $x^{‘}=(x +V_x t)\gamma, y{‘}=y,z{‘}=z$, где $\vec V_x$ скорость не штрихованной системы координат $\gamma=1/\sqrt{1-V_x^2/c^2}$. Подставим в уравнение движения Ньютона, получим
$\frac{d^2 m_1 (\vec r+ V_x t)\gamma}{ds_1^2 \gamma^2}=- \frac{1}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}\frac{k m_1 m_2 (\vec r_2-\vec r_1)}{|\vec r_2-\vec r_1|^3\gamma^2}$
Откуда имеем
$\frac{d^2 m_1 (\vec r+ V_x t)}{ds_1^2}=- \frac{\sqrt{1-V_x^2/c^2}}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}\frac{k m_1 m_2 (\vec r_2-\vec r_1)}{|\vec r_2-\vec r_1|^3}$
Имеем $\frac{d^2 t}{ds^2}=0$ . Величина $V_{1x}=\frac{V_{1x}^{‘}+V_x}{1+V_{1x}^{‘}V_x/c^2}$
$V_{1y}=\frac{V_{1y}^{‘}\sqrt{1-V_x^2}}{1+V_{1x}^{‘}V_x/c^2}$
$V_{1z}=\frac{V_{1z}^{‘}\sqrt{1-V_x^2}}{1+V_{1x}^{‘}V_x/c^2}$
скорость первого тела в не штрихованной системе отсчета
Значит, уравнение движения в двигающейся инерциальной системе координат имеет вид
$\frac{d^2 m_1 \vec r}{ds_1^2}=- \frac{\sqrt{1-V_x^2/c^2}}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}\frac{k m_1 m_2 (\vec r_2-\vec r_1)}{|\vec r_2-\vec r_1|^3}$
Причем в случае двух тел, скорости которых лежат вдоль действия силы в системе координат, двигающейся со скоростью $V_x=V_1$, имеем
$\frac{d^2 m_1 \vec r}{ds_1^2}=- \frac{k m_1 m_2 (\vec r_2-\vec r_1)}{|\vec r_2-\vec r_1|^3}$
Munin я исправил текст прилагаемого файла, и теперь энергия состояния тела определяется из понятной формулы. Причем на бесконечности времени имеется следующая картина движения N тел. Они вращаются в параллельных плоскостях, расстояние между которыми удалось определить. Отсюда понятно, почему в квантовой системе, состоящей из N тел, моменты импульса складываются в произвольно направленной системе координат. Система N тел за время измерения перестраивается, и все орбиты лежат в параллельных плоскостях.

[Alex_J]

Дискретные энергии в системе N тел?

А я возьму и увеличу энергию одного из тел на $\frac{\Delta E_n}{2}$. Т.е. на половину разности нынешнего и более высокого уровней. В макро случае. И никаким образом система не сможет "избавиться" от этой энергии. Подтолкну астероид выстрелом из пушки на очень малую величину.

Не может быть дискретных уровней энергии. Только на микроуровне.

[evgeniy]

Все очень просто, если массивные тела, планеты имеют малые квантовые числа и разность уровней энергии велика, и мы не можем изменить их энергию, орбиты остаются неизменными, то малые тела находятся в квазиклассическом или в свободном состоянии и разность их уровней энергии мала, почти непрерывна. Астероид находится не в связанном состояние, а в свободном состоянии и его энергия непрерывна, так как положительна. Связанное состояние энергии отрицательно

[Munin]

Связанное - это когда астероид упал на поверхность планеты, что ли?

[evgeniy]

Все как в квантовой механике, если энергия системы отрицательна, значит это связанное состояние, причем энергия дискретна, в частности орбиты планет, если энергия состояния положительна, это гиперболическая орбита и свободное состояние и непрерывное значение энергии.

[Someone]

evgeniy в сообщении #886208 писал(а):

если энергия системы отрицательна, значит это связанное состояние, причем энергия дискретна

А доказательство дискретности энергии астероида предъявить можете? "…значит…" — это не доказательство.
В квантовой механике дискретность энергий не декларируется, а выводится из уравнений. Вот и Вы выведите дискретность энергии астероида из уравнений небесной механики.

[evgeniy]

По видимому Вы даже не читали начальные посты и файл приложение, где я доказываю, что энергия N взаимодействующих тел дискретна. В частности получается, что и энергия отдельного тела дискретна.

[Munin]

evgeniy в сообщении #886208 писал(а):

Все как в квантовой механике, если энергия системы отрицательна, значит это связанное состояние

Вы только что заявили, что астероиды находятся не в связанном состоянии. А у них энергия отрицательна. Извольте не противоречить самому себе.

evgeniy в сообщении #886225 писал(а):

По видимому Вы даже не читали начальные посты и файл приложение, где я доказываю, что энергия N взаимодействующих тел дискретна. В частности получается, что и энергия отдельного тела дискретна.

Их даже и читать не надо, чтобы сделать заключение, что они ошибочны.

-- 10.07.2014 18:56:24 --

Вот лагранжиан отдельного тела: $L=m(\dot{\mathbf{r}})^2/2.$ Демонстрируйте дискртеность.

[evgeniy]

Munin в сообщении #886253 писал(а):

evgeniy в сообщении #886208
писал(а):
Все как в квантовой механике, если энергия системы отрицательна, значит это связанное состояние
Вы только что заявили, что астероиды находятся не в связанном состоянии. А у них энергия отрицательна. Извольте не противоречить самому себе.

Энергия у астероидов положительна, так как они не находятся на эллиптических орбитах, когда их энергия отрицательна, а имеют гиперболическую траекторию. Кроме того, их масса мала, и даже если бы они перешли на эллиптическую орбиту, квант их энергии мал.

Munin в сообщении #886253 писал(а):

Вот лагранжиан отдельного тела: $L=m(\dot{\mathbf{r}})^2/2.$ Демонстрируйте дискртеность.

Во первых необходимо как минимум два тела, связанных гравитационным или электромагнитным взаимодействием. Во вторых это сложное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, которое я специально выделил в отдельный файл, в силу громоздкости изложения. В третьих Вы уже читали этот файл, так как был комментарий по поводу этого файла, наверное забыли.

[Someone]

evgeniy в сообщении #886513 писал(а):

Во первых необходимо как минимум два тела, связанных гравитационным или электромагнитным взаимодействием.

Ну возьмём два тела: Землю и искусственный спутник Земли. Как известно, в такой задаче двух тел существуют круговые орбиты произвольного радиуса, и уже таких круговых орбит — континуум. И никакой дискретности, что также известно.

[evgeniy]

Энергия системы Луна и Земля сохраняется с точностью до силы воздействия Солнца. Чтобы энергия системы сохранялась необходимо рассматривать Землю, Луну и Солнце. Массы всех этих тел велики и энергия отрицательна, так как находятся на эллиптических орбитах. Чтобы изменить их траектории надо большой квант энергии. Именно поэтому траектории стабильны.

[Munin]

evgeniy в сообщении #886513 писал(а):

Энергия у астероидов положительна, так как они не находятся на эллиптических орбитах, когда их энергия отрицательна, а имеют гиперболическую траекторию.

Да что вы говорите?

https://www.google.com/search?q=asteroid+orbital+elements

И чтобы больше не произносили подобных глупостей!

(Гиперболическими бывают кометы, а не астероиды, и весьма редко. Большинство комет эллиптические.)

evgeniy в сообщении #886513 писал(а):

Во первых необходимо как минимум два тела, связанных гравитационным или электромагнитным взаимодействием.

Окей, вот лагранжиан двух тел: $L=m_1(\dot{\mathbf{r}}_1)^2/2+m_2(\dot{\mathbf{r}}_2)^2/2+\alpha/|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|.$

Это не сложное решение, по крайней мере, его знают все студенты-физики самое позднее на втором курсе.

Так что давайте, демонстрируйте дискретность.

[evgeniy]

Вообще-то нужно Вас отослать к файлу, в котором все написано. Но так уж и быть повторю выкладки. Во первых нельзя переходить в систему, связанную с центром инерции тела, так как решение должно получиться комплексное. Кроме того, решение для двух тел, которое решают второкурсники не распространяется на множество тел, а предлагаемый метод распространяется. Решение в комплексной плоскости отличается от решения, которое реализуют второкурсники и оно определяет дискретные уровни энергии.
Имеем уравнение движения для каждого тела
$\frac{d^2 x_l}{dt^2}=-\frac{\alpha(y_l-x_l)}{|\vec y-\vec x|^3}$
Используя комплексные полюса знаменателя которые непрерывны, получим уравнение относительно каждой переменной.
$\frac{d^2 x_l}{dt^2}=\exp[H_l(t)]\frac{\exp[\int \ln(x_l-a(\alpha))d\alpha]}{\exp[\int \ln(x_l-c(\alpha,\beta))^2d\alpha d\beta]}\eqno(1)$
где величина $\exp[H_l(t)]$ определяется по формуле
$\exp[H_l(t)]=-\frac{\alpha(y_l-x_l)}{|\vec y-\vec x|^3}\frac{\exp[\int \ln(x_l-c(\alpha,\beta))^2d\alpha d\beta]}{\exp[\int \ln(x_l-a(\alpha))d\alpha]}$
Причем эта величина в ноль и бесконечность не обращается и следовательно является монотонной функцией времени. Если эту величину подставить в формулу (1), то получим уравнение движения.
Формулу (1) можно представить в виде
$\frac{d^2 x_l}{dh_l^2}=\frac{\exp[\int \ln(x_l-a(\alpha))d\alpha]}{\exp[\int 2\ln(x_l-c(\alpha,\beta))d\alpha d\beta]}\eqno(2)$
как это сделать, см. в прилагаемом файле. Уравнение (2) можно представить в виде
$\frac{d^2 x_l}{dh_l^2}=Q(x_l)+\int \frac{k(\alpha,\beta)}{(x_l-c(\alpha,\beta))}d\alpha d\beta+\int \frac{b(\alpha,\beta)}{(x_l-c(\alpha,\beta))^2}d\alpha d\beta\eqno(3)$
Умножаем (3) на величину $\frac{dx_l}{dh_l}$ и интегрируем по величине $h_l$, получим
$(\frac{d x_l}{dh_l})^2/2=P(x_l)+\int k(\alpha,\beta)[\ln(x_l-c(\alpha,\beta))+2\pi i p]d\alpha d\beta-\int \frac{b(\alpha,\beta)}{2(x_l-c(\alpha,\beta))}d\alpha d\beta\eqno(3)$
Далее извлекаем корень из левой части и интегрируем это дифференциальное уравнение ., получим

$\int_{u=x_l^0}^{x_l}\frac{du}{[P(u)+ \int k(\alpha,\beta)[\ln(u-c(\alpha,\beta))+2\pi i p]d\alpha d\beta-\int \frac{b(\alpha,\beta)}{2(u-c(\alpha,\beta))}d\alpha d\beta]^{1/2}}=h_l-h_l^0$
Получим решение уравнения движения, причем координата зависит от времени и от целого числа p. Считаем интеграл энергии и получаем зависимость энергии от целого числа p. Т.е. получен дискретный спектр энергии.

[Munin]

evgeniy в сообщении #886561 писал(а):

Вообще-то нужно Вас отослать к файлу, в котором все написано.

Вообще-то вы обязаны отвечать в теме.

evgeniy в сообщении #886561 писал(а):

Имеем уравнение движения для каждого тела
$\frac{d^2 x_l}{dt^2}=-\frac{\alpha(y_l-x_l)}{|\vec y-\vec x|^3}$
Используя комплексные полюса знаменателя которые непрерывны, получим уравнение относительно каждой переменной.
$\frac{d^2 x_l}{dt^2}=\exp[H_l(t)]\frac{\exp[\int \ln(x_l-a(\alpha))d\alpha]}{\exp[\int \ln(x_l-c(\alpha,\beta))^2d\alpha d\beta]}\eqno(1)$

Вот этот переход, пожалуйста, изложите подробно. Включая все вводимые вами новые обозначения.

[evgeniy]

Munin в сообщении #886565 писал(а):

evgeniy в сообщении #886561
писал(а):
Имеем уравнение движения для каждого тела
$\frac{d^2 x_l}{dt^2}=-\frac{\alpha(y_l-x_l)}{|\vec y-\vec x|^3}$
Используя комплексные полюса знаменателя которые непрерывны, получим уравнение относительно каждой переменной.
$\frac{d^2 x_l}{dt^2}=\exp[H_l(t)]\frac{\exp[\int \ln(x_l-a(\alpha))d\alpha]}{\exp[\int \ln(x_l-c(\alpha,\beta))^2d\alpha d\beta]}\eqno(1)$
Вот этот переход, пожалуйста, изложите подробно. Включая все вводимые вами новые обозначения.

Переменная $x_l$ имеет континуум нулей правой части дифференциального уравнения, что и изображено в числителе дроби. Значение переменной $\exp[H_l(t)]$ описано далее по тексту, и при подстановке этого значения в уравнение получается начальное уравнение движения. Равенство нулю знаменателя реализуется при комплексном значении $x_3=f(x_1,x_2)$, что можно переписать в виде $x_l=x_l(\alpha,\beta),l=1,2,3$. откуда значение знаменателя.