Задачка по линалу

[oxid]

Доказать, что если квадратные матрицы $A$ и $ B $ порядка
n таковы, что для любого вектор-столбца $E \in R^{n \times 1}$ выполнено
соотношение $AE = BE$, то $A = B$.

Я это решаю так

$x_i$ - элемент вектор столбца $E$
$a'_{ij}$ - элемент результирующей матрицы $AE$
$a'_{ij} = x_i\cdot a_{ij}$
$b'_{ij} - элемент результирующей матрицы $BE$
$b'_{ij} = x_i\cdot b_{ij}$

Из условия следует что $x_i\cdot b_{ij} = x_i\cdot a_{ij}$ Это доказывает что $b_{ij} = a_{ij}$ и матрицы равны.

Это правильное решение?

[takeover]

Приведите формулу $ij$-го элемента произведения двух матриц. У вас она неправильная. И в результате все решение неверное.
Но идея, как это можно решить, верная, только формулы правильные напишите и до конца обоснуйте равенство элементов.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Каждая формула должна быть оформлена в виде

[math]$...$[/math]

Наличие долларов обязательно. Единичные символы оформляем тоже.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[arseniiv]

oxid, вот вы написали $AE = ВE то A = B$, а получилось

oxid в сообщении #887016 писал(а):

$AE = ВE то A = B$

Первая В оказалась не латинская. По умолчанию (и здесь на форуме, хотя тут много пакетов наставлено) $\TeX$ в формулах кириллицу не воспринимает и пропускает. Если написать $AE = BE$, то $A = B$, всё будет видно. (Иногда текст действительно надо вставить в формулу, и по-другому не получится. Тогда вокруг него ставят \text{ и }.)

А теперь по теме: предлагаю вам попробовать взять, раз уж возможны любые $E$, столбцы со всеми нулями кроме одной единицы, и столько таких столбцов, сколько в них мест для этой единицы есть. Потом посмотрите на равенства, которые получатся.

-- Вс июл 13, 2014 23:41:28 --

(Это должно быть проще и прямее, хотя до таких специальных $E$ надо догадаться.)

[oxid]

Исправил, получается так

$a'_{ij} = x_i\cdot a_{1j}$
$b'_{ij} = x_i\cdot b_{1j}$

Из условия следует что $x_i\cdot b_{1j} = x_i\cdot a_{1j}$ Это доказывает что $b_{1j} = a_{1j}$, и т.к матрицы A и B - вектор строки, то они равны.

[arseniiv]

oxid в сообщении #887142 писал(а):

т.к матрицы A и B - вектор строки

А сначала были не строки…

Не забудьте, что $AE$ и $BE$ — столбцы, как и $E$. И посмотрите на конкретный пример

$$\begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & \ell \\ m & n & o & p \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \ldots$$

[oxid]

Черт, пока решал, перепутал порядок в котором их по услови. умножать надо

[ewert]

oxid в сообщении #887016 писал(а):

Доказать, что если квадратные матрицы $A$ и $ B $ порядка
n таковы, что для любого вектор-столбца $E \in R^{n \times 1}$ выполнено
соотношение $AE = ВE то A = B$.

Ну давайте начнём всё-таки с того, что это просто бессмысленно. Даже не по причине того, что последняя пара равенств явно противоречит всем предыдущим выражениям и междометиям, а попросту потому, что не сказано, что именно требуется доказать.

[arseniiv]

ewert, там раньше было вместо той формулы «$AE = BE$, то $A = B$» (код подтвердит).

[мат-ламер]

oxid в сообщении #887016 писал(а):

Доказать, что если квадратные матрицы $A$ и $ B $ порядка
n таковы, что для любого вектор-столбца $E \in R^{n \times 1}$ выполнено
соотношение $AE = ВE то A = B$.

Я это решаю так

Прихожу с работы усталый и не могу сообразить, что дано, а что требуется доказать. Наверное много работаю. Кстати, русский текст внутри математических тегов не виден.

[Lia]

arseniiv в сообщении #887161 писал(а):

там раньше было вместо той формулы «$AE = BE$, то $A = B$»

Исправлено в стартовом посте.