связность и распределение

[Munin]

scwec в сообщении #886813 писал(а):

Кстати, так же вводит связность М.М.Постников

А в "Лекциях"?

[scwec]

Для Oleg Zubelevich: выбранный базис полей при замене координат будет иметь другие компоненты.
Заморозить базовые вектора еще не значит запретить переходить к другим координатам для каких-то целей.
При таком запрете вообще бессмысленно рассматривать преобразования объекта связности или чего-то ещё.
Это как для уравнений Пуанкаре-Четаева: зафиксируем квазикоординаты, а координаты разрешим менять.
Для Munin: в лекциях не помню. Ими практически не пользуюсь.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #886840 писал(а):

выбранный базис полей при замене координат будет иметь другие компоненты.
Заморозить базовые вектора еще не значит запретить переходить к другим координатам для каких-то целей.
При таком запрете вообще бессмысленно рассматривать преобразования объекта связности или чего-то ещё.

хорошо , системе координат $x$ соответствовали векторные поля $\xi_i=(\xi_i^k)$ переходим в другие координаты $x\mapsto x'$ . как преобразуются векторные поля $\xi_i$? просто формулы выпишите через координаты, чтоб я понял, какие векторные поля будут соответствовать штрихованным координатам?

[scwec]

Обычно, $\xi^{i'}=\dfrac{\partial{x^{i'}}}{\partial{x^i}}\xi^{i}$.
Поздно. До завтра.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #886855 писал(а):

Обычно, $\xi^{i'}=\dfrac{\partial{x^{i'}}}{\partial{x^i}}\xi^{i}$.

если Вы имеете в виду, что $\xi^{i'}_k=\dfrac{\partial{x^{i'}}}{\partial{x^i}}\xi^{i}_k$ то это и означает, что векторные поля $\xi_k$ одни и теже во всех системах координат. Компоненты в разных системах координат разные, а инвариантный объект -- векторное поле один.
А чтобы в формуле
$\nabla_{\xi_k}\xi_j=\Gamma_{jk}^s\xi_s$ коэффициенты $\Gamma$ преобразовывались при заменах координат как символы Крисоффеля, должны менятьтся сами векторные поля $\xi_k$. Вообщем тут какое-то недопонимание и у меня, и Вы, похоже, тоже разъяснить ничего не сможете.

[Oleg Zubelevich]

вопрос снят, если кому интересно, что такое неголономная связность, внятный текст:
http://www.scielo.br/scielo.php?script= ... 1000200003
http://arxiv.org/pdf/1110.1356v1.pdf

[scwec]

(Оффтоп)

Как грится, каждый при своем. $k$ то я правда пропустил.
Вообще, должно сложиться цельное восприятие объекта внутри себя. (Это философское замечание)

[Oleg Zubelevich]

Да, про целостное восприятие. (ДНФ, тот же раздел) Вопрос: а как при заменах координат преобразуются функции $c_{ij}^k$ из формулы $[\xi_i,\xi_j]=c_{ij}^k\xi_k$?

[scwec]

По всем канонам $c^k_{ij}$ тензор. Далее?

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #886943 писал(а):

По всем канонам $c^k_{ij}$ тензор. Далее?

вот незадача, если выполнить замену координат по Вашим формулам: $\xi^{i'}_k=\dfrac{\partial{x^{i'}}}{\partial{x^i}}\xi^{i}_k$ и подставить ее в $ [\xi_i,\xi_j]=c_{ij}^k\xi_k$ то окажется, что $c_{ij}^k$ преобразуются не как трехиндексный тензор, а как просто набор отдельно стоящих функций (скаляров).

[scwec]

Давайте уж сразу вывод, который у Вас, видимо, есть. Потом подумаю сразу обо всем.

[Oleg Zubelevich]

Я вывод уже несколько раз формулировал, но Вы его просто пропускаете , поэтому давайте действовать поэтапно. Вы уж действительно подумайте как следует, а то если Вы будете исходить из того, что я не знаю что такое связность, то, конечно, Вы просто не услышите, того на что я стараюсь обратить Ваше внимание.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Вы, случайно, не того хотите, что (у Сарданашвили, по крайней мере) называется вертикальным и горизонтальным расслоением (и соответственно, вертикальными и горизонтальными векторами и тензорами)?

[Oleg Zubelevich]

scwec
с нетерпением жду, когда Вы определитесь с законом преобразования коэффициентов $c_{ij}^k$

[scwec]

Похоже Вы правы. И насчет $\Gamma_{ij}^k$ тоже. Это на меня добрый ум нашел после того как косил целый день траву на даче, а Вы тут как тут.
Конечно, $c_{ij}^k$ тензор по отношению к изменению базиса векторов, а тут он не меняется.
Короче, я с Вами согласен.