связность и распределение

[Oleg Zubelevich]

На многообразии $M$ задана аффинная связность и гладкое распределение гиперплоскостей $p(x)\subset T_xM$. Распределение задано с попощью дифференциальной 1-формы $\omega.$
При каких условиях на форму $\omega$, параллельный перенос переводит векторы из распределения в векторы из распределения?

-- Пт июл 04, 2014 23:28:42 --

Надо получить условия, которые можно проверить в локальных координатах прямым вычислением.

[Oleg Zubelevich]

Ответ в локальных координатах $x$: Если существует форма $\Lambda=\lambda_idx^i$ такая, что

$$\nabla_k \omega_i=\lambda_k\omega_i,\quad \omega=\omega_idx^i\qquad (*)$$

то параллельный перенос вдоль любой гладкой кривой переводит векторы из распределения в векторы из распределения. Верно и обратное.

Действительно, предположим, что параллельный перенос вектора $v$ происходит вдоль кривой $x(t),\quad t\in[0,1]$:

$$\frac{d}{dt}v^i(t)+\Gamma^i_{sk}(x(t))v^s(t)\dot x^k(t)=0.\qquad(**)$$

С другой стороны, домножая (*) на $v^i\dot x^k$ находим:

$$v^i\frac{d }{dt}\omega_i(x(t))-\dot x^kv^i\Gamma^j_{ik}\omega_j=\lambda_k\omega_iv^i\dot x^k.$$

Комбинируя эту формулу с формулой (**) домноженной на $\omega_i$ ,плучаем:

$$\frac{d}{dt}\Big(\omega_i v^i\Big)=\lambda_k(x(t))\dot x^k \omega_iv^i$$

Поскольку $\omega_i v^i\mid_{t=0}=0$ то по теореме существования и единственности для ОДУ $\omega_i v^i=0$ при всех $t$.

[scwec]

С ходу у меня был ответ - достаточно, чтобы $\nabla_k\omega_i=0$ (проверять просто).
И ещё, если $\omega$ - интегрируема, то линия уровня первого интеграла - геодезическое подмногообразие (локально, конечно). Но это с первого взгляда.

[scwec]

Одно пояснение.
Распределение определяется множеством $\Omega$ форм $\{f\cdot\omega\}$, где $f$ - гладкая функция одного знака на $M$.
В инвариантных терминах необходимое и достаточное условие, указанное автором темы в доказательстве, записывается так:
Для любого гладкого векторного поля $X$ должно выполняться равенство $\nabla_X{\omega}=\Lambda(X)\cdot\omega\qquad(1)$.
Справедливо следующее утверждение: если $\Lambda$ точная форма, т.е. $\Lambda=dF$, то в $\Omega$ найдется форма $f\cdot\omega$ такая, что $\nabla_X{f\omega}=0$ для любого поля $X$.
Действительно, положим $f=\exp(-F)$. Тогда $(1)$ записывается так:
$\nabla_X\omega=X(F)\omega$ и $\nabla_X(f\omega)=-\exp(-F)X(F)\omega+\exp(-F)X(F)\omega=0$.
Если же $\Lambda$ не точная форма, то в $\Omega$ не найдется формы, ковариантная производная которой по любому направлению равняется нулю.
Остается выяснить, может ли $\Lambda$ быть не точной.

[Oleg Zubelevich]

Задача допускает динамическую интерпретацию. Условие означает, что система с лагранжианом, состоящим только из кинетической энергии, движется так, что сила реакции дополнитеьной идеальной связи, заданной формой $\omega$, равна нулю. Формула (*) согласуется с формулой

Oleg Zubelevich в сообщении #883315 писал(а):

$$Q_r=a_r\frac{1}{g^{js}a_ja_s}\Big(-\dot q^n\dot q^j\nabla_n a_j+a_jg^{ja}\frac{\partial V}{\partial q^a}\Big)$$

[scwec]

В лагранжиан может входить и $V$, если $\omega(\operatorname{grad}{V})=0$. Следует из формулы для $Q_r$.
Меня заинтересовала связка форм $\omega,\Lambda$. Но пока ничего путного.

[scwec]

Вот вполне приемлемое рассуждение.
Рассмотрим преобразование кривизны $R(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$ и применим его к форме $\omega$,
$X,Y$ произвольные гладкие векторные поля на $M$, а $[X,Y]$ их коммутатор. (Обычно $R(X,Y)$ применяется к векторному полю при определении тензора кривизны). Из $\nabla_X\omega=\Lambda(X)\omega$ и $\nabla_Y\omega=\Lambda(Y)\omega$, применяя к первому равенству $\nabla_Y$, а ко второму $\nabla_X$ и вычитая из второго первое, получим в итоге $R(X,Y)\omega=d\Lambda(X,Y)\cdot\omega$.
Отсюда следует, что $\Lambda$ замкнута тогда и только тогда, когда $R(X,Y)\omega=0$. В этом случае $\Lambda$ локально точна и в множестве $\Omega$, которое содержит все формы, задающие распределение, найдется такая $f\omega$, что $\nabla_X{f\omega}=0$ для любого векторного поля $X$.

[Oleg Zubelevich]

Задача №2. Какое условие надо наложить на $\omega$ что бы было выполнено следующее утверждение. Если в какой-то точке геодезической касательный к ней вектор лежит в распределении то и во всех точках этой геодезической ее касательные векторы лежат в распределении.

[scwec]

Ответ, против которого не поспоришь: н.и д. условие это $\omega(v)=0$ - частный первый интеграл системы уравнений $\dot x^k=v^k,\dot v^k=-\Gamma_{ij}^k{v^i}{v^j}$, где $i,j,k=1,...,n$.
(Имеет право на существование)

[Oleg Zubelevich]

должна существовать форма $\lambda_idx^i$ такая, что либо
$\nabla_i\omega_j=\lambda_i\omega_j$ либо $\nabla_j\omega_i=\lambda_i\omega_j$
достаточность этого условия следует из уравнения

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^k}-\frac{\partial T}{\partial x^k}=Q_k,\quad \omega_i\dot x^i=0,\quad T=\frac{1}{2}g_{ij}\dot x^j\dot x^i$$

про необходимость не думал

[scwec]

Все же, когда переходим к уравнениям Лагранжа, связность симметрична. А если нет, то нужно быть осторожнее. Вдруг где-то выскочит, как в тождестве Бьянки. Может, и нет. Но все же.

[Oleg Zubelevich]

это конечно, ну тогда мое последнее сообщение касается только связности согласованной с метрикой

[Oleg Zubelevich]

scwec
прокомментируйте, пожалуйста , следующий вопрос: post886783.html#p886783
это про тетрадный формализм, там надо еще пару моих постов выше посмотреть или в Дубровина Новикова Фоменко залезть

[scwec]

Посмотрел и залез. Тетрадный формализм Вы честно изложили как у ДНФ.
Кстати, так же вводит связность М.М.Постников в "Вариационная теория геодезических", "Введение в теорию Морса" (базис из некоммутирующих полей он называет неголономным). По поводу символов Кристоффеля у ДНФ всё в порядке. Что касается обсуждаемой темы в физическом разделе, просмотрел её бегло. Ничего криминального там не увидел. Пост как пост.

[Oleg Zubelevich]

Меня смущает вот что.
В ДНФ есть формула:

$$\nabla_{\xi_k}\xi_j=\Gamma_{jk}^s\xi_s\qquad(*)$$

, определяющая коэффициенты $\Gamma_{jk}^s$.
Векторные поля $\xi_i$ при этом сами определяются из соотношения $(\xi_i,\xi_j)=g_{ls}\xi_i^l\xi_j^s=\delta_{ij}$
т.е. это векторные поля, которые в каждом касательном пространстве задают ортонормированный базис. Так написано в ДНФ. Но в этом случае, они не зависят от замен координат, эти поля просто можно выбрать раз и навсегда. Значит, в формуле (*) слева и справа стоят векторные поля, они от систем координат не зависят, следовательно $\Gamma_{jk}^s$ -- это набор функций и преобразуются эти функции при заменах координат, как функции а не как символы Кристоффеля. Что не так в этих рассуждениях?