Коротковолновая асимптотика решений и геометрическая оптика

[Red_Herring]

Вообще-то Morris Kline написал некоторое количество чисто математических работ—несколько по функ. анализу до ВМВ, по теории электромагнитных полей и геометрической оптике—после (но это было до революции, которую произвели J.B.Keller и В.М.Бабич), но большинство его работ—философия математики, преподавание математики, история математики (смотрел по MathSciNet).

Deggial: выделено из темы Про М.Клайна и матмифологию

[Munin]

Red_Herring в сообщении #886721 писал(а):

по теории электромагнитных полей и геометрической оптике—после (но это было до революции, которую произвели J.B.Keller и В.М.Бабич)

А чего именно написал? И что за революция?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #886723 писал(а):

Red_Herring в сообщении #886721 писал(а):

по теории электромагнитных полей и геометрической оптике—после (но это было до революции, которую произвели J.B.Keller и В.М.Бабич)

А чего именно написал? И что за революция?

MathSciNet:
Kline, Morris; Kay, Irvin W. Electromagnetic theory and geometrical optics. Reprint with corrections of the 1965 original. Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Huntington, N.Y., 1979. xii+527 pp. ISBN: 0-88275-739-3

Где-то в конце 1950х—начале 60х было получено строгое обоснование в простых общих случаях что в коротковолновом пределе из волнового уравнения получается геометрическая оптика. Затем началось строгое изучение каустик и дифракции в разных, все усложняющихся случаях. См. например

Babič, V. M.; Buldyrev, V. S. Short-wavelength diffraction theory. Asymptotic methods. Translated from the 1972 Russian original by E. F. Kuester. Springer Series on Wave Phenomena, 4. Springer-Verlag, Berlin, 1991. xi+445 pp. ISBN: 3-540-19189-5 78A45 (35P05 78-01)

Borovikov, V. A.; Kinber, B. Ye. Geometrical theory of diffraction. Translated and revised from the Russian original. IEE Electromagnetic Waves Series, 37. Institution of Electrical Engineers (IEE), London, 1994. x+390 pp. ISBN: 0-85296-830-2 78A05 (35J05 35P99 35Q60)

Василий Михайлович Бабич был очень уважаем не только математиками, но и сейсмологами (они на него молились); а Боровикова очень уважали физики.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #886735 писал(а):

Где-то в конце 1950х—начале 60х было получено строгое обоснование в простых общих случаях что в коротковолновом пределе из волнового уравнения получается геометрическая оптика.

А чем это строгое обоснование сильно сложнее или шире того, что написано, скажем, в Ландау-Лифшице "Теория поля" § 53 "Геометрическая оптика"?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #886763 писал(а):

А чем это строгое обоснование сильно сложнее или шире того, что написано, скажем, в Ландау-Лифшице "Теория поля" § 53 "Геометрическая оптика"?

Я посмотрел … В ЛЛ кроме уравнения эйконала нет ничего (а его знали давным-давно). Нет транспортных уравнений для амплитуд (всех членов в разложении амплитуд по обратным степеням частот), нет оценок остатка, нет понятия каустики (на которой разрушается решение уравнения эйконала), нет решения вблизи каустики, нет того что будет после каустики. Нет дифракции на сильно выпуклом теле, на угле—все то, чем занимались математики.

На самом деле это родственно квазиклассическому приближению в КМ и метод ВКБ при определенных условиях работает—но опять-таки математики потратили много времени на его обосновании и расширение применимости.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #886774 писал(а):

Нет транспортных уравнений для амплитуд (всех членов в разложении амплитуд по обратным степеням частот), нет оценок остатка

Ага, понятно. Ну, кстати, заметьте, параграф называется "геометрическая оптика", то есть, все члены, кроме нулевого, в нём и не нужны.

Red_Herring в сообщении #886774 писал(а):

нет понятия каустики (на которой разрушается решение уравнения эйконала), нет решения вблизи каустики, нет того что будет после каустики.

Про каустики я как раз старался аккуратно обойти вопрос - мне понятно, что это штука сложная. Кстати, а что может быть после каустики? При условии, что у нас вакуум и линейная суперпозиция решений - вроде, ничего такого не должно возникать, кроме того, что было до каустики.

Red_Herring в сообщении #886774 писал(а):

Нет дифракции на сильно выпуклом теле, на угле—все то, чем занимались математики.

Дифракция на клине, кажется, есть в 8-м томе "Электродинамика сплошных сред". Впрочем, это тоже к геометрической оптике не относится.

Red_Herring в сообщении #886774 писал(а):

На самом деле это родственно квазиклассическому приближению в КМ и метод ВКБ при определенных условиях работает—но опять-таки математики потратили много времени на его обосновании и расширение применимости.

Ага, ясно. Спасибо.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #886782 писал(а):

Ага, понятно. Ну, кстати, заметьте, параграф называется "геометрическая оптика", то есть, все члены, кроме нулевого, в нём и не нужны.

При условии, что у нас вакуум и линейная суперпозиция решений - вроде, ничего такого не должно возникать, кроме того, что было до каустики.

На самом деле нулевой член описывается в 54. Но насчет "ничего" это не так просто. Например, при дифракции плоской волны на клине возникает одна или две (ясно из картинки) отраженные волны, но также более слабая цилиндрическая (а Боровиков разобрал еще и многогранные углы где кроме цилиндрических волн от ребер добавляются еще более слабые сферические волны от вершин. В оригинальной постановке надо убедиться, что никаких других волн нет, а для этого нужны все члены.

Что после каустики? Действительно решение имеет вид такой же как и до, но амплитуда приобретает множитель $i^k$ где целое $k$ зависит от "вида" каустики. Это имеет такое следствие: если в разложении по возрастающим гладкостям сингулярность типа ступенька становится $\ln_+$ и наоборот.

А есть еще задачи преломления, есть еще поляризация, полное внутренне отражение, а в теории упругости продольные волны сжатия (compression waves) отражаются и как волны сжатия, и как волны поперечных сдвигов (shear waves) и наоборот, там есть еще поверхностные волны Рэлея, и волны Ламэ вдоль границ раздела.

[Munin]

Мой интерес полностью удовлетворён и перенасыщен :-) Одно только: я не знаком с термином переломление. И $\ln_+$ - это логарифм, что ли?

[mishafromusa]

Про коротковолновые асимптотики написано в "Механике" Арнольда, добавление 11. Есть ещё книжка Маслов и Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. Кстати, в рамках этих разработок получили объяснение правила квантования Бора.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #886788 писал(а):

Мой интерес полностью удовлетворён и перенасыщен Одно только: я не знаком с термином переломление. И $ln_+$ - это логарифм, что ли?

Исправлено

[Munin]

Red_Herring в сообщении #886791 писал(а):

Исправлено

Всё равно, я не знаю такого обозначения :-(

[Red_Herring]

Munin в сообщении #886807 писал(а):

Red_Herring в сообщении #886791 писал(а):

Исправлено

Всё равно, я не знаю такого обозначения

$$\ln_+(z) = \left\{\begin{aligned} &\ln (z)\ &&(z>0),\\ &0 && (z\le 0) \end{aligned}\right. $$

Т.е. речь идет о том что решение у которого сингулярность выглядела как ф. Хевисайда от эйконала $\phi(x,t)$ до каустики, выглядит как $\ln_+(\phi)$ после простой каустики и наоборот.

Один из подходов вблизи простой каустики (В.П.Маслова) перейти в импульсное представление (по одной из координат)]

[Munin]

Спасибо.

[Утундрий]

(Оффтоп)

В сплайнах весьма употребимо, для степеней занулённых слева. Может оттуда и пошло.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #886897 писал(а):

В сплайнах весьма употребимо, для степеней занулённых слева. Может оттуда и пошло.

Да нет, в обобщенных функций появилось пораньше. Например в Гельфанде и Шилове есть схема обобщенных функций $x_+^\lambda/\Gamma (\lambda+1)$, включая эти с логарифмами. И вообще все работы на эту тему в распространении особенностей — середина 50х—середина 60х годов