Олимпиадная задача с параметром

[NNDeaz]

При каких а система
$a{x^2} + y = 5{x^2}y; 2{x^2} - 3y = a{x^2}y $
имеет единственное решение?
Решал выражая у через х, но я думаю так как это олимпиадная задачка(спбгу, 2008), то есть красивое решение. Может вы найдете его

[mihailm]

Если $(x,y)$, то из четности получим еще решение. Отсюда необходимое условие на икс.

[NNDeaz]

Спасибо, про четность я забыл.
Сейчас думаю можно ли решить эту систему геометрическим способом.

-- Пт июл 11, 2014 22:19:27 --

mihailm в сообщении #886613 писал(а):

Если $(x,y)$, то из четности получим еще решение. Отсюда необходимое условие на икс.

Исходя из ваших соображений получаем $x=0$ и тогда $y=0$ и как тогда выйти на параметр а?

[mihailm]

Не прокатило) сейчас подумаю

-- Пт июл 11, 2014 22:45:42 --

Ничего лучше, чем решить систему относительно $x^2$ и $y$, $y$ оставить в виде произведения не придумывается. Получается -15 и два промежутка.

[ewert]

NNDeaz в сообщении #886601 писал(а):

При каких а система
$a{x^2} + y = 5{x^2}y; 2{x^2} - 3y = a{x^2}y $
имеет единственное решение?

Ну можно так. Плохими являются случаи, когда есть ненулевые решения. При этом должны быть ненулевыми как икс, так и игрек (т.к. очевидно, что из $x=0$ следует $y=0$ и наоборот). Поэтому вопрос сводится к разрешимости системы

$\begin{cases}a\frac{1}{y} + \frac1{x^2} = 5; \\ 2\frac1{y} - 3\frac1{x^2} = a.\end{cases}$

Эта система формально имеет решения для всех $a\neq-\frac23$. Т.е. значение $a=-\frac23$ -- хорошее, а все остальные -- в принципе, плохие, но с одной оговоркой: среди них будут всё-таки хорошими те, при которых получается $\frac1{y}=0$ или $\frac1{x^2}\leqslant0$. Другими словами, должно выполняться одно из условий:

$$\left|\begin{matrix}5&1\\ a&-3\end{matrix}\right|=0\ \Leftrightarrow\ a=-15$$

или

$$\left|\begin{matrix}a&5\\ 2&a\end{matrix}\right|\cdot\left|\begin{matrix}a&1\\ 2&-3\end{matrix}\right|\leqslant0\ \Leftrightarrow\ \left(a^2-10\right)\left(a+\frac23\right)\geqslant0\ \Leftrightarrow\ a=\in\left[-\sqrt{10};-\frac23\right]\cup\left[\sqrt{10};+\infty\right).$$

[NNDeaz]

Спасибо! Красиво получилось

[ewert]

Ну что значит красиво. Это -- практически полное решение самой системы: осталось просто тупо выписать явные выражения для ненулевых иксов и игреков вне того множества значений параметра, на котором решение единственно (там уже никаких дополнительных вариантов не появится).

И при этом вряд ли удастся получить ответ на исходный вопрос быстрее, судя по внешнему виду этого ответа.