точность анализа

[AndreyL]

Друзья! Такой вопрос. Есть аттестованный стандарт, т.е. аттестованное значение дается как среднее и дисперсия, назовем среднее $a$, дисперсию $\sigma^2$. По этому стандарту делаем несколько измерений $x_i, i=1..n$, т.е. проверяем точность метода. Теперь нужно посчитать точность метода как "Степень близости результата измерений к принятому опорному значению". Можем, конечно, посчитать дисперсию при известном среднем $s^2=\sum_{i=1}^n (x_i-a)^2/n$. Но тут выясняется, что $s^2$ не так уж сильно отличается от $\sigma^2$. Если бы $s^2$ была много больше, чем $\sigma^2$, то $\sigma^2$ можно было бы пренебречь и тогда точностью (доверительным интервалом) будет $s \cdot t_n$, где $t_n$ - квантиль распределения Стьюдента с $n$ степенями свободы. А как изменится расчет доверительного интервала, если пренебречь сигмой нельзя?

[AndreyL]

Чего-то не пойму. Если все $x_i$ подчиняются нормальному распределению с центром, предположим, $m$ и стандартным отклонением, предположим, $q$, а случайная величина $a$, подчиняется нормальному распределению с тем же центром $m$ и стандартным отклонением $\sigma$, то по идее, величины $y_i=\frac{x_i-a}{\sqrt{q^2+\sigma^2}}$ должны подчиняться нормальному распределению с центром $0$ и стандартным отклонением $1$. Тогда сумма их квадратов $\chi^2=\sum_{i=1}^n y_i^2=\frac{1}{q^2+\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-a)^2$ должна подчиняться распределению хи-квадрат с $n$ степенями свободы. А почему-то не подчиняется. Вопрос - почему? Неужели где-то появись зависимость между $y_i$?

[Otta]

Я тоже чего-то не пойму. Из Вашего первого поста складывается впечатление, что $a$ Вам известно заранее. Почему во втором оно уже выступает в роли случайной величины? И верно ли я понимаю, что Вы исходите из предположения, что измерения подчинены нормальному закону распределения? В стартовом посте явно это не упоминается, но используется потом.

[AndreyL]

Я так понял, Вас смутила фраза "аттестованное значение дается как среднее и дисперсия, назовем среднее $a$, дисперсию $\sigma^2$." Вроде, все корректно сказано, но поясню - аттестация стандартного образца тоже проходит посредством анализа, но в нескольких лабораториях и очень правильным и дорогим методом. Таким образом эта самая $a$ не есть истинное значение (его, к сожалению, только Господь знает), а тоже есть случайная величина, которая подчиняется нормальному распределению (на самом деле Стьюденту) с центром $m$, который неизвестен (если бы он был известен, то нечего было бы и огород городить). Эти $a$ и $\sigma^2$ нам действительно известны заранее - они есть в паспорте стандартной пробы, но, повторяю, это не истинное значение, а нам нужно определиться с правильностью нашего анализа (как мера отклонения результата анализа от истинного значения).

[Otta]

И $x_i$ и $a$ никак не коррелируют?

[AndreyL]

Обязательно коррелируют, т.е. если взять разные стандартные пробы с разными $a$, то $x$ обязаны с ними коррелировать - иначе грош цена нашим анализам. Только тогда нужно вводить обозначения $a_j,j=1..k$, где $k$-количество исследованных стандартных проб.

Но сейчас пока интересует исследование только одной стандартной пробы. Берем эту стандартную пробу, известно ее измеренное значение $a$, известна правильность этого измерения $\sigma$, и делаем по этой пробе $n$ измерений $x_i,i=1..n$. Только тогда о корреляции нельзя говорить - $a$ всегда одно и то же.
И вот теперь нужно как то определить точность нашего метода анализа, например дисперсию $s_{pr}^2=\sum_{i=1}^n (x_i-m)^2/n$. Вот только $m$ неизвестно.

Еще поясню. Если бы мы имели возможность штамповать наши анализы сотнями (а лучше миллионами), то тогда было бы просто - я бы сложил дисперсию стандартного образца с нашей дисперсией (средним квадратом отклонения от аттестованного значения этого стандарта), и получил бы дисперсию, связанную с точностью, поскольку при больших степенях свободы распределение Стьюдента можно считать нормальным. Но, сложность в том, что при нескольких пробах от распределения Стьюдента не уйти.

[Otta]

Мне кажется, где-то происходит подмена понятий. Случайной величины и реализации случайной величины. Поскольку надо определиться, либо уж $a$ всегда одно и то же, либо таки это случайная величина. Как я понимаю, у Вас неприятность возникает на этом этапе

AndreyL в сообщении #886620 писал(а):

$y_i=\frac{x_i-a}{\sqrt{q^2+\sigma^2}}$ должны подчиняться нормальному распределению с центром $0$ и стандартным отклонением $1$.

Ничего такого, они, имхо, не должны, поскольку $x_i$ и $a$ явно зависимы - по крайней мере, с точки зрения здравого смысла.

Но это если я верно поняла Вашу постановку задачи, конечно.

[AndreyL]

Да, конечно Вы правы! $a$ есть реализация случайной величины, при этом утверждается, что та случайная величина подчиняется нормальному распределению с центром в истинном значении $m$ и дисперсией $\sigma^2$. Посчитать отклонение наших анализов от $a$ не составляет труда, а вот как оценить отклонение от $m$?