Распределение длины третьей стороны треугольника

[DreamC]

Задача состоит в следующем:
По данным распределениям двух сторон треугольника (к примеру, равомерное от 0 до 1 и Рэлея) и распределению угла (тоже равномерное на интервале от 0 до $\pi$) найти распределение третьей стороны.

Третья сторона ищется по теореме косинусов : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\$.
Если идти по шагам и искать распределение отдельных слагаемых, то у меня возник вопрос с зависимостью третьего слагаемого и оставшихся двух.
В книжке Левина "Теор. основы стат. радиотехники" нашел раздел "Преобразование многомерной плотности вероятности", там плотность преобразования находится при помощи якобиана и обратных преобазований исходной функции (в моем случае приходится разбивать на несколько отрезков однозначности), но дальше, чтобы получить одномерную плотность, небоходимо проинтегрировать по двум дополнительным переменным (т.к. одномерная плотность получается из общего случае преобразования трехмерного в трехмерное). Там у меня возникли трудности с пределами интегрирования.

Не подскажите, куда мне лучше копать и в ту ли сторону я шел? Подобных задач (хотя уверен на 100% что ои есть) я не нашел ни в Вентцеле, ни в подобных.

Заранее благодарен за любую помощь.

[patzer2097]

DreamC в сообщении #886193 писал(а):

По данным распределениям двух сторон треугольника (к примеру, равомерное от 0 до 1 и Рэлея) и распределению угла (тоже равномерное на интервале от 0 до $\pi$) найти распределение третьей стороны.

Такая формулировка вряд ли позволит дать хороший ответ. Вероятно, Вы еще предполагаете, что упомянутые величины независимы

[DreamC]

patzer2097 в сообщении #886262 писал(а):

Такая формулировка вряд ли позволит дать хороший ответ. Вероятно, Вы еще предполагаете, что упомянутые величины независимы

Да, извиняюсь, все три величины независимы.

[DreamC]

Был занят немного другим, но вернулся к этой задаче.

Вкратце, в книгах я нашел один метод (в итоге, сводящийся к следующей формуле):

$$W_{\eta_1}\left(y_1\right) = \int\limits_{y_2, y_3} w_{\xi^3}\left (\varphi \left (y^3 \right ),y_2,y_3 \right ) \cdot \left |\frac{\partial \varphi(y^3)}{\partial y_1} \right | dy_2 \; dy_3$$

где $\varphi$ - обратная функция нужного преобразования.

Но далее большая проблема - нахождение пределов интегрирования. Ведь сам интеграл у меня делится на две ветви, для каждой из которых еще различные промежутки выделяются. И пока не пойму, получу ли я в явном виде итоговую формулу.

Правильный ли подход?
И я так и не смог пока найти подобные решенные задачи (хотя до сих пор уверен, что они явно были уже решены и не раз).

[iifat]

Обозначений конкретно не понял, но, имхо, примерно так. Пределы у вас есть — стороны от 0 до 1, угол от 0 до $\pi$. Осталось выписать.
Вполне возможно, получатся кусочные функции и понадобятся кусочные интегралы. И чо?
Вполне вероятно, красивого результата не получится. Красивых результатов, помнится, учебники тоже не обещают. Интересно — пробуйте, пишите, дерзайте.

[DreamC]

iifat в сообщении #887877 писал(а):

Обозначений конкретно не понял, но, имхо, примерно так. Пределы у вас есть — стороны от 0 до 1, угол от 0 до $\pi$. Осталось выписать.
Вполне возможно, получатся кусочные функции и понадобятся кусочные интегралы. И чо?
Вполне вероятно, красивого результата не получится. Красивых результатов, помнится, учебники тоже не обещают. Интересно — пробуйте, пишите, дерзайте.

Вот, как раз и пытаюсь выписать пределы все правильно.

По поводу обозначений $w$ - плотность исходной совместной с.в., $\varphi$ - обратная функция преобразования (в моем случае она равна $\varphi = \cos (y_3) y_2 \pm \sqrt{y_1^2-y_2^2+y_2^2 \cos (y_3)}$.

Из нее вылезают ограничения (для рассматриваемого мною случая) - подкоренное выражение $\geq 0$, $0 \leq \varphi \leq 1$, $y_1 \geq 0$, $0 \leq y_2 \leq 1$ и $0 \leq y_3 \leq \pi$.

И вот что-то я тормознул на этом...

Про красивый результат то я изначально не расчитывал. Добиться бы сейчас хоть какого-то, т.к. прибегать к аппроксимации не хотелось бы.

[DreamC]

Лучше поздно, чем никогда. Задачу я уже решил - нужно было раньше написать.

Если кому интересно, то посмотрите книжку Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989), Глава 3.