Теорема из учебника Э.И. Зверовича "Введение в анализ..."

[angor6]

Вызывает недоумение доказательство следующей теоремы (место, начиная с которого начинаются проблемы с пониманием, выделено шрифтом синего цвета).

Теорема (свойство Архимеда). Пусть $a,~b \in \mathbb{N}$ и $a \ge b$. Существует единственное $p \in \mathbb{N}$ такое, что

$b\cdot p \le a < b\cdot(p+1)$

.
Доказательство. Покажем сначала, что любое $a\in \mathbb{N}$ обладает свойством быть превзойдённым некоторым целократным числа $b\in \mathbb{N}$. С этой целью применим индукцию по числу $a\in \mathbb{N}$. Так как $1<b+1\le 2b$, то число $a=1$ этим свойством обладает. Далее, если $a<b\cdot n$, то

$a+1<b\cdot n+1\leb\cdot n+b=b\cdot(n+1)$.

Вспомогательное утверждение доказано. По теореме 2.5 среди чисел $n$, для которых $a<b\cdot(n+1)$, есть наименьшее. Обозначая его через $p$, имеем $b\cdot p\le a<b\cdot(p+1)$.

Подчёркнутое мной составляет, кстати, содержание аксиомы Архимеда...

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Красный цвет убирайте, он зарезервирован для модераторов.

2. Каждая формула должна быть оформлена в формате

[math]$...$[/math]

. Наличие долларов обязательно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihailm]

для $a=1$ проверили, пусть при $a$ верно тогда и при $a+1$ верно

[angor6]

mihailm, спасибо за отклик! Мне непонятно, как из условия теоремы и того, что $a=1$ следует неравенство $1<b+1\le 2b$. И как из этого следует дальнейшее. Что куда нужно подставлять?

По-моему, проще было воспользоваться аксиомой Архимеда и тем, что в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел есть наименьшее число.

[Xaositect]

angor6 в сообщении #885543 писал(а):

По-моему, проще было воспользоваться аксиомой Архимеда и тем, что в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел есть наименьшее число.

Мы тут доказываем аксиому Архимеда для натуральных чисел из аксиомы индукции.

Нужно доказать, что для любых натуральных $a$ и $b$ найдется натуральное $k$, для которого выполняется $a < kb$.
Доказываем мы это индукцией по $a$.
Для $a = 1$ это будет верно, так как можно взять $k = 2$.
И индукционный переход: если $a < kb$, то $a+1 < (k + 1)b$.

[mihailm]

angor6 в сообщении #885543 писал(а):

...Мне непонятно, как из условия теоремы и того, что $a=1$ следует неравенство $1<b+1\le 2b$. И как из этого следует дальнейшее. Что куда нужно подставлять?...

$1<b+1\le 2b$ это доказательство базы индукции. Ничего пока отсюда не следует. Далее из одного неравенства получаем другое. Все, индукция прошла.

[angor6]

Xaositect, что ж, спасибо! Первый раз вижу, как аксиома Архимеда выводится из аксиомы индукции... А моё мнение по поводу альтернативного доказательства теоремы верно?

mihailm, спасибо! Не вполне понятно всё же, хотя никогда не испытывал до этого проблем с доказательствами по индукции...

[mihailm]

angor6 в сообщении #885621 писал(а):

...mihailm, спасибо! Не вполне понятно всё же, хотя никогда не испытывал до этого проблем с доказательствами по индукции...

(Оффтоп)

Не подумайте, что шутка: отличное введение в математическую индукцию найдете в книге "Ленинградские математические кружки", главка вроде так и называется мат индукция

[angor6]

mihailm, благодарю, но мне непонятна не сама математическая индукции, а её использование при доказательстве данной теоремы. В условии теоремы написано двойное неравенство $b\cdot p\le a< b\cdot(p+1)$. И мне непонятно, как при $a=1$ из этого неравенства следует неравенство $1<b+1\le 2b$.

Поэтому пробую доказать теорему по-своему. В данном случае, по-моему, можно поступить так: в силу аксиомы Архимеда и линейной упорядоченности множества натуральных чисел существует наименьшее $ k\in \mathbb{N}$ такое, что $a<bk$. Но тогда $b(k-1)\le a$. Мне кажется, что это проще. К сожалению для меня, ни Вы, ни уважаемый Xaositect на этот вопрос не стали отвечать. А для меня этот вопрос, пожалуй, важнее, чем "непонятки" с индукцией.

Впрочем, я никого ни в чём не упрекаю: изучение математики всегда проблематично, а тем более изучение без наставника, по книгам.

[Cash]

angor6 в сообщении #885650 писал(а):

И мне непонятно, как при $a=1$ из этого неравенства следует неравенство $1<b+1\le 2b$.

неравенство $1<b+1\le 2b$ ниоткуда не следует - оно верно для любого натурального $b$ само по себе.
Еще раз.
Пусть $a,~b \in \mathbb{N}$ и $a \ge b$. Существует единственное $p \in \mathbb{N}$ такое, что
$b\cdot p \le a < b\cdot(p+1)$
Нужно проверить базу, то есть утверждение теоремы при $a=1$.
То есть, что существует единственное $p$, такое что $b\cdot p \le 1 < b\cdot(p+1)$
Из условия $b\cdot 1 \le a$, а также из того, что $1<b+1\le 2b$ и следует утверждение теоремы для случая $a=1$.

angor6 в сообщении #885650 писал(а):

Поэтому пробую доказать теорему по-своему. В данном случае, по-моему, можно поступить так: в силу аксиомы Архимеда и линейной упорядоченности множества натуральных чисел существует наименьшее $ k\in \mathbb{N}$ такое, что $a<bk$. Но тогда $b(k-1)\le a$. Мне кажется, что это проще

Автор учебника не постулирует аксиому Архимеда. Он выводит ее из других постулатов.
В своем доказательстве Вы бросаетесь фразами линейной упорядоченности, существует наименьшее. Например, для доказательства существования наименьшего элемента в любом подмножестве натуральных чисел нужна аксиома индукции. То есть получается для доказательства утверждения Вы использовали явно аксиому Архимеда и неявно аксиому индукции, а автор только аксиому индукции.

[angor6]

Cash, благодарю за ответ! Наверное, разобрался. Некоторая странность в восприятии, похоже, была вызвана тем, что единица - наименьшее натуральное число...

И, по-моему, я ничем не бросаюсь, пытаясь сочинить доказательство от себя: существование наименьшего числа в любом подмножестве множества натуральных чисел автор учебника сам доказывает в теореме 2.5. Но что меня больше всего интересует, так это доказательство аксиомы, то есть утверждения, принимаемого без доказательства. Впрочем, наверное, это можно опустить, потому что в данном учебнике множество натуральных чисел вводится не посредством аксиом Пеано, а через мощности конечных множеств...

[Cash]

angor6 в сообщении #885702 писал(а):

Но что меня больше всего интересует, так это доказательство аксиомы, то есть утверждения, принимаемого без доказательства.

Но автор и называет доказываемое утверждение не аксиомой, а свойством Архимеда.

[angor6]

Cash, благодарю Вас за уделённое мне внимание!

Обсуждение вопроса считаю исчерпанным. Спасибо всем, кто принял в нём участие!