лемма Римана

[Oleg Zubelevich]

Введем обозначение $c_k(f)=\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{ikx}dx,\quad f\in L^1[-\pi,\pi],\quad k\in\mathbb{Z}$.

Доказать, что для любой последовательности положительных чисел $a_n\to\infty,\quad \mathbb{N}\ni n\to\infty$ найдется $f\in L^1[-\pi,\pi] $ такая, что $a_{n}|c_{n}(f)|\to\infty$

[mihailm]

Бари, глава 2, параграф 6, стр. 222. За эпсилон берем корень из $\frac{1}{a_n}$ и подправим там, чтоб монотонность была.

[Oleg Zubelevich]

так неинтересно , кстати, а как полностью учебник называется?

-- Пн июл 07, 2014 23:02:35 --

а можно еще так: доказать, что $L^1[-\pi,\pi]\ni f\mapsto\{c_k(f)\}$ есть отображение на $c_0$ (двусторонние последовательности , стремящиеся к нулю в обе стороны)

[mihailm]

Единственная по моему книга Нины Карловны "Тригонометрические ряды".
Для интереса, если игнорировать монотонность коэффициентов, то существуют ряды Фурье даже всюду дифференцируемых функций с коэффициентами сколь угодно медленно стремящихся к нулю (Ульянов П.Л. вроде привел пример где то в Успехах)

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #885126 писал(а):

а можно еще так: доказать, что $L^1[-\pi,\pi]\ni f\mapsto\{c_k(f)\}$ есть отображение на $c_0$ (двусторонние последовательности , стремящиеся к нулю в обе стороны)

А это действительно так?
Вот, например,
$c_k = \int \limits_0^{1/3} \frac {\sin kx}{x \ln |x|}dx$
Не очень давно этот вопрос разбирался (для непрерывного случая). С точностью до "бантиков" должно получиться $f(x) = v.p.\frac {1}{x \ln |x|}$.
Или я что-то путаю?

[Oleg Zubelevich]

а где здесь функция из $L^1$?

[sup]

Я и говорю, что $f \not \in L_1$. Зато $\{c_k\} \in c_0$. Поэтому не получается отображения на.

[Oleg Zubelevich]

да, не получается