Деликатный швырятель

[Утундрий]

Невесомая пружинка жёсткости $k$ одним своим концом закреплена на неподвижном основании. Пружинку сжимают, устанавливают на её свободный конец грузик массой $m$ и отпускают. Пружинка расжимается, а грузик ускоряется. До скорости $v$. При этом в течение всего процесса ускорение грузика не превышает $a$. Всё это происходит в невесомости.

Мы раздобыли ещё одну точно такую же пружинку и монетку массой $\mu m$. Можно ли, используя эти дополнительные предметы, разогнать грузик до скорости выше чем $v$, не превышая при этом ограничение на ускорение $a$? Если можно, то при каких $\mu$?

[dovlato]

Ну например, прицепить вторую пружинку к первой, на конце тот самый грузик $m$ плюс монетка $\mu m$.
Растягиваем, пока сила не достигнет $a(1+\mu) m$. И новая скорость $v_1$ станет равна

$$v_1=v\sqrt{2(1+\mu)}$$

Или я опять что-то не так понял..

[Xey]

Ускорение максимально при полностью сжатой пружине.
Если вторую пружинку поставить на первую и обе сжать, то максимальное ускорение не станет больше, увеличится время действия ускорения и конечная скорость груза .

А зачем монетка? Может ее надо положить между пружин, или пружинки надо поставить рядом, накрыть монеткой , а на монетку груз?

[Skeptic]

Последовательное соединении пружин не влияет на результат.
Для одной пружины у меня получилось

$$v_1=v\sqrt{1+\mu}$$

[dovlato]

А если взять миллион пружинок - что, снова "не повлияет"

[Утундрий]

Конечно, первое что приходит в голову - это не побояться и... совместить. В самом деле,

$$v = a\sqrt {\frac{m}{k}} $$

так что $k$ логично попытаться уменьшить, а $m$ - увеличить. (Напоминаю, что при последовательном соединении двух пружинок обратные жёсткости складываются). dovlato пошёл по этому пути и достиг немалых успехов (ну, или "улётно выступил", если угодно). Однако, рассмотренный путь не единственный. Ибо было изречено Пророчество...

Xey в сообщении #883837 писал(а):

А зачем монетка? Может ее надо положить между пружин...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Параллельно? (От балды, лень считать; но жёсткость-то увеличится; но ускорение может превысить порог.)

Можно стрелять монетой в уже летящий грузик, но это, наверно, вообще неуместно.

[dovlato]

Стрельба вывела бы его из разряда деликатных.. стиль же ж.
Кстати, результат $v_1=\sqrt{2(1+\mu)}$ можно несколько улучшить, если допустить, что в определённый
момент разгона совместно грузика и монетки (когда сила упругости пружин уменьшится до $ma$)- эту монетку можно отцепить,
предоставив пружинкам далее разгонять только лишь грузик.

[dovlato]

Есть такое подозрение.
Пусть монетка прикреплена к первой пружине и находится между пружинами, а грузик - на дальнем конце второй пружины.
Причём вторая пружина сначала расслаблена. Зато первая пружина сильно сжата, и противоположный её конец зафиксирован.
Насколько сильно - сие надо считать. Отпускаем первую пружину; она толкает монету, одновременно сжимая 2ю пружину.
Грузик начинает ускоряться; его ускорение постепенно растёт от нуля до максимальной величины, равной а; начальное сжатие
1й пружины нужно подобрать именно таким. Но, конечно, без расчётов всё это лишь художественное размахивание руками.

[Утундрий]

Да, эту мысль я и имел в виду. А посчитать не шибко сложно: уравнение там биквадратное.

[dovlato]

А я убоялси .
Похоже, что в этом методе $v$ также растёт как корень из $\mu$ при его неограниченном росте?
Наверное, задача может быть обобщена на 3, 4 и т.д. пружинок с монетками. Но вряд ли останется аналитически решаемой.
Видимо, при большом числе пружинок с монетками получим нечто вроде "модели кнута".
Ну и главное - а что в том Пророчестве?

[Утундрий]

dovlato в сообщении #885052 писал(а):

Наверное, задача может быть обобщена на 3, 4 и т.д. пружинок с монетками. Но вряд ли останется аналитически решаемой.

Почему, вполне себе вариационная задача: "Как заранее деформировать массивную пружину, чтобы как надо бахнула?"