Независимые события. Задача

[Ixodes]

Всем привет! Помогите найти правильное решение:
Обследовалась группа из 10000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказалось, что 4000 человек яв­ляются постоянно курящими. У 1800 курящих обнаружи­лись серьезные изменения в легких. Среди некурящих изме­нения в легких имели 1500 человек. Является ли курение и наличие изменений в легких независимыми событиями?

Я исходил из того, что если события A и B независимы, то $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Вероятность, что есть изменения в легких у курящего:
$P(A) = \frac{1800}{4000}=\frac{9}{20}$,

вероятность того, что есть изменения в легких у некурящего:
$P(A) = \frac{1500}{6000}=\frac{1}{4}$.

$P(A\cap B)=\frac{3300}{10000}=\frac{33}{100}$

Получаем, что $P(A\cap B) \neq P(A)P(B)\Rightarrow$ события не являются независимыми.
Подозреваю, что не все так просто

[arseniiv]

А те ли вероятности вы сосчитали? Какие события просит рассмотреть задача, и какие рассмотрели вы?

[iifat]

Недопол. Событие A — "есть изменения у курящего". Событие B (там описка?) — "есть изменения у некурящего". А $A\wedge B$ сформулируйте, будьте добры, а то никак не получается.

[Ixodes]

arseniiv в сообщении #884780 писал(а):

А те ли вероятности вы сосчитали? Какие события просит рассмотреть задача, и какие рассмотрели вы?

Да, рассмотрел не те события
Тогда так: событие А - человек курящий, событие B - у человека есть изменения в легких.
$P(A)=\frac{4000}{10000}=\frac{2}{5}$

$P(B)=\frac{3300}{10000}=\frac{33}{100}$

Я на правильном пути? Тогда осталось вычислить вероятность $P(A\cap B)$ чтобы посмотреть, соблюдается ли равенство $P(A\cap B)=P(A)P(B)$?

[--mS--]

На правильном.

Кстати, Вы уверены, что это задачка из теории вероятностей, а не из статистики, на проверку гипотез?

[ewert]

Ixodes в сообщении #884819 писал(а):

Я на правильном пути?

Да как сказать. Формально -- на правильном, но практически гораздо проще сравнить безусловную вероятность $P(B)$ и условную $P(B|A)$ (которая считается с ровно тем же успехом, что и $P(A)$, т.е. в ровно такое же количество действий -- в одно).

[Ixodes]

--mS-- в сообщении #884825 писал(а):

На правильном.

Кстати, Вы уверены, что это задачка из теории вероятностей, а не из статистики, на проверку гипотез?

Думаю, все-таки из теории вероятностей. Задача взята из книги "Высшая математика ч.5" (авторы Р.М. Жевняк, А.А. Карпук), раздел "Теория вероятностей".

Получается, что пересечение событий А и B: человек курит и у него есть изменения в легких. Никак не пойму, как вычислить $P(A\cap B)$

-- 07.07.2014, 08:22 --

ewert в сообщении #884830 писал(а):

Ixodes в сообщении #884819 писал(а):

Я на правильном пути?

Да как сказать. Формально -- на правильном, но практически гораздо проще сравнить безусловную вероятность $P(B)$ и условную $P(B|A)$ (которая считается с ровно тем же успехом, что и $P(A)$, т.е. в ровно такое же количество действий -- в одно).

По формуле $P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$ ?

[ewert]

Ixodes в сообщении #884831 писал(а):

По формуле $P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$ ?

Нет, в лоб. Прочитайте, что у Вас слева написано: "вероятность изменений при условии, что курит". Ну так и тупо разделите соотв. исходные данные.

[Ixodes]

ewert в сообщении #884833 писал(а):

Ixodes в сообщении #884831 писал(а):

По формуле $P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$ ?

Нет, в лоб. Прочитайте, что у Вас слева написано: "вероятность изменений при условии, что курит". Ну так и тупо разделите соотв. исходные данные.

Не уверен, что правильно Вас понял, получается условная вероятность будет $P(B|A)=\frac{1800}{10000}=\frac{9}{50}$ ?

[--mS--]

Нет, конечно. Вероятность изменений при условии, что курит - это доля кого среди кого?

[Ixodes]

--mS-- в сообщении #884842 писал(а):

Нет, конечно. Вероятность изменений при условии, что курит - это доля кого среди кого?

Доля тех, у кого изменения из тех, кто курит.
Вероятность $P(B|A)=\frac{1800}{4000}=\frac{9}{20}$ ?

Осталось сравнить безусловную вероятность $P(B)$ и условную $P(B|A)$. Они не равны, следовательно, события не являются независимыми. Правильно?

[ewert]

Правильно.

[Ixodes]

Большое спасибо всем, кто помог разобраться.