диофантово уравнение. решить с помощью теории чисел.

[rightways]

$n-$ фиксированное натуральное число. Известно, что уравнение $x^2+xy+y^2=n$ имеет решение в рациональных числах. Докажите, что это уравнение имеет целое решение.

[scwec]

Пусть $X,Y,u,v$ целые числа, $n$ натуральное число, $x=\dfrac{X}{u},y=\dfrac{Y}{v}$, $gcd(X,u)=gcd(Y,v)=1$ и $x^2+xy+y^2=n\qquad(1)$. Тогда $v^2{X^2}+uvXY+u^2{Y^2}=nu^2{v^2}$ отсюда $v|u^2, u|v^2$ и $u=v$. Таким образом, $X^2+XY+Y^2=nv^2\qquad(2)$. Ясно, что достаточно рассмотреть $n$ свободное от квадратов.
Нужно доказать, что $n$ представимо бинарной формой $(1)$ с целыми $x,y$ при том, что выполнено $(2)$.
Воспользуемся двумя утверждениями относительно бинарных форм.
1. Примитивные бинарные формы с дискриминантом $d=-3$ все эквивалентны (относительно унимодулярных линейных преобразований).
2. Пусть $D$ — дискриминант квадратичного поля . Для того чтобы натуральное число $m = nv^2$, где n свободно от квадратов, представлялось некоторой бинарной примитивной формой дискриминанта $d=D$, необходимо и достаточно, чтобы было разрешимо сравнение
$z^2\equiv{d}(\mod{4n})\qquad(3)$.
В нашем случае $d=-3$ и дискриминант $D$ поля $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ равен $-3$. Поскольку $nv^2$ представимо в силу $(2)$, то сравнение $(3)$ разрешимо.
Но тогда представимо и число $n=n\cdot{1^2}$ некоторой формой с $d=-3$. Из эквивалентности всех примитивных форм с $d=-3$ следует, что
$n$ представимо формой $x^2+xy+y^2$. (Форма $ax^2+bxy+cy^2$ примитивная, если $gcd(a,b,c)=1$, дискриминант $d=b^2-4ac$).

Пример. $X=\dfrac{-89}{19},Y=\dfrac{85}{19},X^2+XY+Y^2=21$ и $x=4,y=1, x^2+xy+y^2=21$

[nnosipov]

Для решения задачи достаточно доказать следующие утверждения:
1) $1^2+1 \cdot 1+1^2=3$;
2) любое простое число $p \equiv 1 \pmod{3}$ представимо формой $x^2+xy+y^2$;
3) любое простое число $p \equiv -1 \pmod{3}$ не представляется формой $x^2+xy+y^2$.
Утверждение 3) легко вывести из малой теоремы Ферма, а утверждение 2) можно доказать, например, используя факториальность кольца $\mathbb{Z}[(-1+\sqrt{-3})/2]$.

[scwec]

Некоторое обобщение.
Точно так же, как и в моем предыдущем сообщении, доказывается утверждение о представление натурального $n$ (если есть рациональное решение, то есть и целое) для форм $x^2+xy+ky^2$ с дискриминантом $d=1-4k$, где $k$ натуральное число.
Дискриминант поля $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ равен $d$, поскольку $d\equiv{1}(\mod{4})$
Кроме этого дискриминанты $d$ рассматриваемых форм должны удовлетворять условию эквивалентности всех примитивных форм при заданном $d$. Такие $d$ в пределах сотни следующие: $-3,-7,-11,-19,-27,-43,-67$. Соответственно $k=1,2,3,5,7,11,17$.

[rightways]

А как можно доказать, что произведение двух чисел вида $x^2+xy+y^2$ тоже имеет такой же вид (без гауссовых)?

[scwec]

$(m^2+amn+bn^2)(p^2+apq+bq^2)=r^2+ars+bs^2$, где $r=mp-bnq, s=np+mq+anq$

[Sonic86]

фигня удалена

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #884532 писал(а):

Нет?

Угу. Уравнение-то приведённое, но не с целыми коэффициентами. Чудес не бывает :)

Кстати, вот пример уравнения, которое не имеет целых решений, но имеет рациональные решения: $x^3+y^3=6$.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #884537 писал(а):

Угу. Уравнение-то приведённое, но не с целыми коэффициентами. Чудес не бывает :)

Да, тоже понял.
Пост стер в силу ненужности

[scwec]

nnosipov в сообщении #884537 писал(а):

вот пример уравнения, которое не имеет целых решений, но имеет рациональные решения: $x^3+y^3=6$ .

Интересно, что если рассмотреть ур-ние $x^3+y^3=N$, где $x,y$ рациональные числа, $N$ натуральное число и $N\le{50}$, то только для $N=37$ это уравнение имеет два основных решения - одно рациональное, другое целое. А именно $(x,y)=(\frac{19}{7},\frac{18}{7})$ и $(x,y)=(4,-3)$.
Есть еще $N=30$ с двумя основными решениями, но они оба рациональные $(\frac{289}{93},\frac{-19}{93})$ и $(\frac{163}{57},\frac{107}{57})$.

[rightways]

Недавно в одной книге видел задачу:

Доказать, что если натуральное число можно представить в виде суммы трех квадратов рациональных чисел, то оно представимо и в виде суммы квадратов трех целых чисел.

В задаче было написано в скобках ( Теорему (Лежандра) о представлении суммы трех квадратов не использовать!)