Ориентируюсь на книгу Картана А. Гомологическая алгебра (с.20):
Пусть

---

-модуль. Тогда совокупность всех формальных сумм

является свободным модулем.
У меня, наверное, другое издание, написано вот что:
Цитата:
Пусть

- произвольное множество. Совокупность

всех формальных конечных сумм

, где

,

является, очевидно, свободным модулем с базой

(каждый элемент

мы отождествляем с элементом

). В частности, принимая за

некоторый модуль

, мы можем таким образом построить свободный модуль

. Тождественное отображение базы модуля

на модуль

допускает продолжение до некоторого гомоморфизма

.
То есть здесь выражение "формальная сумма" следует понимать так, что при построении модуля

мы рассматриваем

как множество без структуры, забываем, что элементы

можно складывать и умножать сами по себе. Например, если взять в

элементы

такие, что

, в модуле

элементы

и

будут различны.
Где здесь использовано то, что

свободный? Только для свободного

отображение

будет гоморфизмом?
Да, если

не свободен, гомоморфизма

может не существовать.