Слупы:мартингал

[Ivan0001]

Доказать, что $h_k=(W_t-\frac{ t^2 }{ 2 })^k$-мартингал относительно естественной фильтрации винеровского процесса $W_t, k \in \mathbb{N} $

Как можно решить такую задачку?

[--mS--]

По определению пробовали?

[Ivan0001]

$Mh_k=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(x-\frac{ t^2 }{ 2 } )^k \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi t }} e^{\frac{ -x^2 }{ 2t }} dx =[y=x-\frac{ t^2 }{ 2 },dx=dy]=\frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi t }}\int\limits_{-\infty}^{\infty}y^k \cdot e^{\frac{ -(y+\frac{ t^2 }{ 2 })^2 }{ 2t }} dy= e^{\frac{ -t^3 }{ 8 }}\frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi t }}\int\limits_{-\infty}^{\infty}y^k \cdot e^{\frac{ -y^2-yt^2 }{ 2t }} dy=e^{\frac{ -t^3 }{ 8 }}\frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi t }}I_k$
$I_k=\int\limits_{-\infty}^{\infty}y^k \cdot e^{\frac{ -y^2-yt^2 }{ 2t }} dy=\int\limits_{-\infty}^{\infty}y^k \cdot e^{\frac{ -yt^2 }{ 2t }} (\frac{ -t }{ y }) de^{\frac{ -y^2 }{ 2t }}=-t\int\limits_{-\infty}^{\infty} y^{k-1} \cdot e^{\frac{ -yt^2 }{ 2t }} de^{\frac{ -y^2 }{ 2t }}=-t(\left.{ y^{k-1} \cdot e^{\frac{ -yt^2 -y^2}{ 2t }} }\right|_{ -\infty }^{ \infty } - \int\limits_{-\infty}^{\infty} y^{k-1} (\frac{ -t }{ 2 }) \cdot e^{\frac{ -yt^2 -y^2 }{ 2t }}dy- \int\limits_{-\infty}^{\infty} y^{k-2} (k-1) \cdot e^{\frac{ -yt^2 -y^2 }{ 2t }}dy) = 0 - \frac{ t^2 }{ 2 }I_{k-1} + (k-1)t I_{k-2}$
$I_k=(k-1)t I_{k-2}- \frac{ t^2 }{ 2 }I_{k-1}$
$I_0=e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{ -x^2 }{ 2t }} dx = \sqrt{2 \pi t} e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}$
$I_1=\frac{ -t^2 }{ 2 } \sqrt{2 \pi t} e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}$
$I_2=(t+\frac{ t^4 }{ 4 }) \sqrt{2 \pi t} e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}$
$I_3=(\frac{ -3t^3 }{ 2 }-\frac{ t^6 }{ 8 }) \sqrt{2 \pi t} e^{\frac{ t^3 }{ 8 }}$
Не понятно, как доказать ограниченность матожидания

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[--mS--]

А зачем Вам вообще матожидание $h_k$, когда в определении мартингала стоят условные матожидания? Чему равно $\mathsf E(W_t^m\,|\, W_s)$?

Если Вы имеете в виду не равномерную ограниченность, а просто существование, так у нормального распределения все степенные моменты существуют, зачем вычисления? На интеграл посмотрите. Степерь и экспонента.

[Ivan0001]

$E(h_k(t)|F_s)=E((W_t - \frac{ t^2 }{ 2 })^k|F_s)=E((W_s +W_{t-s} - \frac{ (t-s+s)^2 }{ 2 })^k|F_s)= E(((W_s - \frac{ s^2 }{ 2 }) + (W_{t-s}-\frac{ (t-s)^2 }{ 2 } - (t-s)s ))^k|F_s)= E(((W_s - \frac{ s^2 }{ 2 }) + (W_{t-s}-\frac{ (t^2-s^2) }{ 2 }))^k|F_s)= (W_s - \frac{ s^2 }{ 2 })^k + \sum\limits_{n=1}^{k} \frac{ k! }{ n!(k-n)! } (W_s - \frac{ s^2 }{ 2 })^{k-n} E((\frac{ s^2-t^2 }{ 2 })^n|F_s) $.
$ E(( (s^2-t^2) \!\!\not{\phantom{|}}\, 2 )^n |F_s)=0$?
В одном примере было написано $E(-n|F_s)=-n, (S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_k,n \in Z_+) $- случайное блуждание, $X_n=S_n^2-n, \varepsilon_i $ -н.о.р. сл.в. $P( \varepsilon_i=1)=P( \varepsilon_i=-1)= 1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2$

$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m$ по биному Ньютона

[--mS--]

Ivan0001 в сообщении #884843 писал(а):

$ E(( (s^2-t^2) \!\!\not{\phantom{|}}\, 2 )^n |F_s)=0$?

Нет, конечно. См. свойства УМО. Математическое ожидание константы есть она сама, будь то условное или простое матожидание.

Ivan0001 в сообщении #884843 писал(а):

$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m$ по биному Ньютона

Снова нет. Как это получилось?

[Ivan0001]

--mS-- в сообщении #884846 писал(а):

Как это получилось?

Почему-то думал, что $E(W_{t-s}^m|W_s)=0$. Но чтобы
$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{ m! }{ k!(m-k)! }W_s^{m-k} E(W_{t-s}^k|W_s) = W_s^m$ (так как $W_s$ независима от $W_{t-s}$) получается, что $\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{ m! }{ k!(m-k)! }W_s^{m-k} E(W_{t-s}^k|W_s)=0$

[Ivan0001]

Для неотрицательных целых $p$, центральные моменты нормального распределения таковы:

$\mathrm{E}\left[X^p\right] = \begin{cases} 0 & p=2n+1, \\ \sigma^p\,(p-1)!! & p=2n. \end{cases}$

Значит,

$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{m!}{k!(m-k)!}W_s^{m-k}E(W_{t-s}^k|W_s) = \begin{cases} W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{(m-1)/2}\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}t^k (2k-1)!! & m=2k+1, \\ W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m/2}\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}t^k (2k-1)!!& m=2k. \end{cases} $

[--mS--]

Да не надо тут, мне кажется, вычислять моменты. Оставьте их в виде $\mathsf EW_{t-s}^k$, всё равно потом сворачивать куда-то придётся.

[Ivan0001]

--mS-- в сообщении #885618 писал(а):

Оставьте их в виде $\mathsf EW_{t-s}^k$, всё равно потом сворачивать куда-то придётся.

куда например?

Ivan0001 в сообщении #885451 писал(а):

$E(W_t^m|W_s)=E((W_s+W_{t-s})^m|W_s)=W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{m!}{k!(m-k)!}W_s^{m-k}E(W_{t-s}^k|W_s) = \begin{cases} W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{(m-1)/2}\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}(t-s)^k (2k-1)!! & ,m=2k+1, \\ W_s^m + \sum\limits_{k=1}^{m/2}\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}(t-s)^k (2k-1)!!& ,m=2k. \end{cases} $

Так как слагаемые $\frac{m!}{k!(m-2k)!}W_s^{m-2k}(t-s)^k (2k-1)!!$ не равны нулю, отсюда следует, что $W_s^m$ - не мартингал.

В моей задаче, я тоже склоняюсь к тому, что у меня не мартингал:
$E(h_n(t)|F_s)=E((W_t - \frac{t^2}{2})^n|F_s)= E(\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!(n-k)!}W_t^{n-k}(\frac{t^2}{2})^k|F_s)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!(n-k)!}(\frac{t^2}{2})^kE(W_t^{n-k}|F_s) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!(n-k)!}(\frac{t^2}{2})^k E(\sum\limits_{l=0}^{n-k}\frac{(n-k)!}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}W_{t-s}^l|F_s) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=0}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}\sum\limits_{m=0}^{k}\frac{k!}{m!(k-m)!}\frac{1}{2^{k-m}} s^{2(k-m)} (t-s)^{2m} \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l) =\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!} (\frac{s^2}{2})^k \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}\sum\limits_{m=1}^{k}\frac{k!}{m!(k-m)!}\frac{1}{2^{k-m}} s^{2(k-m)} (t-s)^{2m} \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l) =(W_s - \frac{s^2}{2})^n + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}\sum\limits_{m=1}^{k}\frac{k!}{m!(k-m)!}\frac{1}{2^{k-m}} s^{2(k-m)} (t-s)^{2m} \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k}\frac{1}{l!(n-k-l)!}W_s^{n-k-l}E(W_{t-s}^l)$
Чтобы процесс был мартингалом, нужно чтобы

0= \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}\sum\limits_{m=1}^{k}\frac{k!}{m!(k-m)!}\frac{1}{2^{k-m}} s^{2(k-m)} (t-s)^{2m} \frac{1}{(n-k)!}W_s^{n-k} + \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n! (-1)^k}{k!}(\frac{t^2}{2})^k \sum\limits_{l=1}^{n-k} \frac{1}{l!(n-k-l)!} W_s^{n-k-l} E(W_{t-s}^l)
Пока не знаю, как доказать или опровергнуть это равенство

[--mS--]

Ну попробуйте взять маленькие $k$, видно будет. Единицу не стоит, а двойку уже можно.