Приведение двух квадратичных форм

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Есть две квадратичные формы:

$$k(x)=3{x_1}^2-6x_1x_2+8x_1x_3+2x_1x_4-4x_2x_3-2x_2x_4+5{x_3}^2+2x_3x_4+{x_4}^2 $$

$$g(x)=-4x_1x_2+6x_1x_3+10x_1x_4-2x_2x_3-6x_2x_4$$

Необходимо найти базис в котором k и g примут диагональный вид.
Загвоздка в том, что ни одна из этих квадратичных форм не является положительно определенной.

$$K=\begin{pmatrix} 3 & -3 & 4 & 1 \\ -3 & 0 & -2 & -1 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

$$G=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & -1 & -3 \\ 3 & -1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Первую форму я привел к диагональному виду с помощью метода Якоби
$\vartriangle_0=1;\vartriangle_1=3;\vartriangle_2=-9;\vartriangle_3=-9;\vartriangle_4=-5; $

$$k(z)=\frac{1}{3}{z_1}^2-\frac{1}{3}{z_2}^2+{z_3}^2+\frac{9}{5}{z_2}^2$$

Для второй формы я сделал замены $x_1=y_1+y_2; x_2=y_1-y_2; x_3=y_3+y_4; x_4=y_3-y_4$
В результате получил $g(y)=-4{y_1}^2+4{y_2}^2+8y_1y_3+24y_2y_3-12y_2y_4 $
$\begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 12 & -6 \\ 4 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
И эта форма тоже не является положительно определенной

[Munin]

RikkiTan1 в сообщении #883517 писал(а):

Загвоздка в том, что ни одна из этих квадратичных форм не является положительно определенной.

А зачем это для диагонализации?

[mihailm]

Munin в сообщении #883568 писал(а):

...А зачем это для диагонализации?

Теоремка в этом случае есть, в Куроше например

[Munin]

А других теоремок нет? Обязательно только этой пользоваться?

-- 03.07.2014 18:13:41 --

mihailm в сообщении #883569 писал(а):

Теоремка в этом случае есть, в Куроше например

Приведите, пожалуйста, точную формулировку и точную ссылку. А то я нашёл только пару банальностей и одну нелепость. Может, я вообще не ту книгу смотрю.

[svv]

Munin в сообщении #883577 писал(а):

А других теоремок нет? Обязательно только этой пользоваться?

Есть другие. Например:

Цитата:

Но даже если ни одна из матриц не является знакоопределенной, пара, тем не менее, может быть приведена общим преобразованием к диагональному виду в некоторых случаях.

Пара вещественных симметричных или эрмитовых матриц $A, B$ называется определенной, если в множестве матриц вида $\alpha A+\beta B$ при вещественных $\alpha, \beta$ есть хотя бы одна знакоопределенная матрица.

Если пара матриц является определенной, то она может быть приведена общим эрмитовым конгруэнтным преобразованием к вещественному диагональному виду.

(В.В.Воеводин, Вл.В.Воеводин. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система Линеал, 2006, с.425-427)

[RikkiTan1]

Так, я брал теорему из учебника В.А.Ильин, Г.Д.Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Написано
Теорема 104.4 (о паре квадратичных форм). Для любой пары квадратичных форм $A(x,x)$ и $B(x,x)$ в вещественном (и комплексном) пространстве $V$, одна из которых положительно определена, существует общий базис, в котором обе квадратичные формы имеют канонический вид.

[nnosipov]

svv в сообщении #883590 писал(а):

(В.В.Воеводин, Вл.В.Воеводин. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система Линеал, 2006, с.425-427)

Действительно хорошая энциклопедия. А вот у Гантмахера в "Теории матриц" этого факта почему-то нет.

-- Чт июл 03, 2014 21:57:08 --

RikkiTan1, всё верно, но читать теперь нужно Воеводина (чтобы разобраться с Вашим примером).