Изоморфизм

[nosochego]

Добрый день.
Есть такая задача:
Пусть $n,m \geq 2$ - натуральные числа и $S_{n,m} = SL_n(Z;mZ)$ - подмножество в $SL_n(Z)$, состоящее из матриц вида $E+Xm$, где $X$ - целочисленная квадратная матрица размера $n$. Доказать, что
а) $S_{n,m}$ - нормальная подгруппа в $SL_n(Z)$;
б) $SL_n(Z)/S_{n,p} \cong SL_n(Z/pZ)$, где $p$ - простое число.

С пунктом (а), к счастью, проблем не оказалось, а вот пункт (б) вызвал некоторые затруднения.

Пока что понял, что классы факторгрупп матрицы $A$ выглядят, как:
$\{A+AX_1p, A+AX_2p, ....\}$
Нашел отображение, при котором весь класс отображается в матрицу из $SL_n(Z/pZ)$
$A+AX_1p \mod p = A \mod p$

Но, если не ошибаюсь, такое отображение изоморфным не будет.

[Foxer]

Грубо говоря, факторизцаия склеивает элементы.
Вам нужно понять, по какому именно принципу это происходит. Для этого нужно понять, что из себя представляет Ваша $S_{n,p}$.

Если так сильно огрубить, то это все матрицы, у которых элементы кратны $p$. Когда Вы берете фактор по этим матрицам, то значит склеиваете все матрицы с элементами, отличающимися на $p$. Отсюда и возникает $SL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. А вот аккуратно провести данные рассуждения Вы должны сами.

[nosochego]

А при чем тут простота?
Пока что пришла в голову идея, что это как-то связано с делителями нуля, но мне это все равно ничего не дает.

У меня пока что получилось такое решение:

Возьмем отображение $f(A) = A \mod p$
Т.е. у меня все матрицы, элементы которых отличаются от $A$ на число, кратное $p$, переходят в матрицу из $SL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$.
Получил, что это отображение является гомоморфизмом, образом этого гомоморфизма будет вся группа $SL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$.
Ядром гомоморфизма является, если не ошибаюсь, $S_{n, p}$.
Тогда по теореме о гомоморфизме можно сказать, что изоморфизм доказан.
Но здесь нигде не используется простота $p$, а это напрягает.

[Foxer]

1. Есть такое ощущение, что $SL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ не является группой, если откинуть условие простоты. Самый простой на то пример - рассмотрите матрицы $1 \times 1$. Там возникли делители нуля какие-то, а это не хорошо.
2. Так сразу совсем не очевидно, что у Вас получилось то отображение, которое заявлено: $f: SL_n(\mathbb{Z}) \rightarrow SL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. Может матрица с единичным определителем при таком отображении перешла в матрицу с нулевым определителем, которая уже не лежит в $SL_n$.

[apriv]

Очевидно, что $SL_n(\mathbb Z/p\mathbb Z)$ является группой при любом $p$, и что построен гомоморфизм в нее из $SL_n(\mathbb Z)$. Проблема в том, что совершенно неясно, отчего он сюръективен. Для простого $p$ Это следует, например, из структурной теории линейных групп над полем: $SL_n(\mathbb Z/p\mathbb Z)$ порождается элементарными трансвекциями.

[Foxer]

apriv правильно подметил. Все порождается группами $E + E_{i,j}$, а они, очевидным образом, переходят в себя при таком отображении, то бишь лежат в образе. Но, тем не менее мой пункт 2 остается в силе.

[nosochego]

Foxer
А группа $SL_n(\mathbb{Z})$ тоже порождается группами $E + E_{i,j}$?

И если да, то не могли бы Вы подсказать мне, где можно найти доказательство этого утверждения?
Для $SL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ нашел в Богопольском.

(Оффтоп)

Просто мне доказательство из достоверного источника нужно, чтобы сдать. Сам перерыл пару книг, не нашел.

[apriv]

Foxer в сообщении #882657 писал(а):

Но, тем не менее мой пункт 2 остается в силе.

Определитель задается многочленом, поэтому образ матрицы из $SL$ снова лежит в $SL$.

-- 02.07.2014, 01:35 --

nosochego в сообщении #882834 писал(а):

А группа $SL_n(\mathbb{Z})$ тоже порождается группами $E + E_{i,j}$?

Да (как и $SL_n$ над любым эвклидовым кольцом). Доказательство: алгоритм Эвклида.

[nosochego]

Эм, а можете в двух словах объяснить, как алгоритм Евклида это доказывает?

[apriv]

Посмотрите для начала на случай $n=2$: можно ли матрицу из $SL_2(\mathbb Z)$ привести к единичной элементарными преобразованиями?

[Foxer]

apriv в сообщении #882987 писал(а):

Определитель задается многочленом, поэтому образ матрицы из $SL$ снова лежит в $SL$.

Я что-то не понял, кто именно тут решает задачу, Вы, или человек, которого мы стараемся натолкнуть на решение? Так то я сам, естественно, это понимал.

[apriv]

Foxer в сообщении #883111 писал(а):

Я что-то не понял, кто именно тут решает задачу, Вы, или человек, которого мы стараемся натолкнуть на решение? Так то я сам, естественно, это понимал.

Думаю, тот факт, что определитель является естественным преобразованием функторов $GL_n\to\mathbb G_m$, очевиден (и уж во всяком случае гораздо проще вопроса, порождается ли $SL_n(R)$ элементарными трансвекциями).

[nosochego]

Вот, кстати, вопрос есть.
apriv
Вы мне сказали, что гомоморфизм у меня верный, да и образ гомоморфизма($SL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$) я нашел правильно.
Ядром этого гомоморфизма, как я уже писал выше, является $E + Xp$, т.к. $E$ перейдет сама в себя, а $XP$ перейдет в нуль.
Тогда можно примернить теорему о гомоморфизме:
Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма.
Тогда получается, что группы изоморфны.

Я уже писал выше это решение, мне сказали обратить внимание на сюръективность. Но здесь я говорю именно про эту теорему. Разве в таком случае решение не будет верным?

Собственно, здесь все равно остается проблема с простотой.

(Оффтоп)

Мне просто интересно, а что здесь может быть неправильно.

[apriv]

nosochego в сообщении #883208 писал(а):

Вы мне сказали, что гомоморфизм у меня верный, да и образ гомоморфизма($SL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$) я нашел правильно.

Совершенно непонятно, почему образ этого гомоморфизма равен $SL_n(\mathbb Z/p\mathbb Z)$; это мы и обсуждали выше.

Цитата:

Ядром этого гомоморфизма, как я уже писал выше, является $E + Xp$, т.к. $E$ перейдет сама в себя, а $XP$ перейдет в нуль.

Это рассуждение показывает только, что ядро содержит все элементы вида $E+Xp$, но не обратное включение.