сходимость ряда

[Oleg Zubelevich]

Пусть $\{a_k\}$ -- произвольная последовательность действительных чисел.
Доказать, что ряд

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\frac{1}{\sqrt{|\sin(a_k+x)|}}$$

сходится почти всюду по $x\in\mathbb{R}$

(Оффтоп)

может это и не олимпиадная задача, я уж забывать начал, что там в курсах анализа рассказывают, а что нет

[deep down]

Достаточно проверить на интервале $[0,\pi]$. Для множества $A$ обозначим через $A_t$ трансляцию на нужное число $\pi n$ его точек, чтобы они попали в базовый интервал.
Возьмём любое $\alpha\in(1,2)$. Обозначим $\varepsilon_k=\arcsin k^{-\alpha}$, $A_n=[0,\pi]\setminus\cup_{k\ge n}(-a_k-\varepsilon_k,-a_k+\varepsilon_k)_t$.
Тогда $m([0,\pi]\setminus A_n)\le 2\sum_{k\ge n} \varepsilon_k$. Общий член ведёт себя как $k^{-\alpha}$. С другой стороны, на $[0,\pi]\setminus A_n$ хвост ряда можно оценить как $\sum_{k\ge n} k^{\alpha/2-2}$

Рабоче-крестьянский подход вполне сработал, но интересно, что будет при других степенях, скажем, без квадратного корня. Ответ известен?

[Oleg Zubelevich]

Цитата:

Теорема 37. Пусть $\vec u_n$ - последовательность функций, определённых $\mu$-почти всюду на $X$, со значениями в банаховом пространстве $\vec F$. Тогда, если ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int^\ast\|\vec u_n\|$ сходится, то ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\vec u_n \ \ \ \mu$-почти всюду сходится абсолютно. Следовательно, этот ряд определяет $\mu$-почти всюду некоторый вектор $\vec S(x)$. Если функции $\vec u_n$ интегрируемы, то определённая таким путём $\mu$-почти всюду на $X$ функция $\vec S$ со значениями в $\vec F$ $\mu$-интегрируема и имеет место равенство

[Deggial]

Последующий пост Oleg Zubelevich отделён в Карантин по причине формулы не оформлены $\TeX$ом

Пост возвращён 08.07.2014

[deep down]

Посмотрел пост в карантине, спасибо. Название книги?

[Oleg Zubelevich]

Лоран Шварц Анализ

[sup]

Предлагаю усилить результат. Пусть $\alpha > 1$. Докажите, что ряд

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{\alpha}|\sin(a_k+x)|}$$

сходится для почти всех $x\in\mathbb{R}$

[sup]

Есть гипотеза, что вместо $k^\alpha$ можно взять любую последовательность $b_k$, при условии
$\sum \frac{1}{b_k} < \infty$
Но у меня пока нет доказательства. В частности, я не знаю, можно ли взять $b_k = k\ln ^2 k$.

[sup]

Гипотеза неверна. Есть простой контрпример. В качестве $a_k$ надо взять конечные двоичные дроби на отрезке (0,1). В общем, такая вот сумма
$\sum \limits_k c_k \sum \limits_l \frac{1}{\left |x - \frac{2l+1}{2^k} \right |}$
Условие
$\sum \limits_k 2^kc_k < \infty$
не гарантирует сходимости ряда для почти всех $x$. В данном случае нужно
$\sum \limits_k k 2^k c_k < \infty$
Или в исходных терминах
$\sum \limits_n \frac{\ln n}{b_n} < \infty$
А это уже (как можно доказать) достаточное утверждение.

[Руст]

sup в сообщении #883471 писал(а):

Есть гипотеза, что вместо $k^\alpha$ можно взять любую последовательность $b_k$, при условии
$\sum \frac{1}{b_k} < \infty$

Если сходимость условная ($b_k$ со знаками) то гипотеза не верна и легко строится контрпример.
Если сходимость абсолюная, можно считать, что все $b_k$ положительны. В таком виде гипотеза верна.
Доказательство несколько длинное, возможно, если не поленюсь, приведу несколько позднее.

[sup]

А как же пример?
В нем нет сходимости ни в одной точке $x \in [0,1]$, если ряд
$\sum \limits_k k 2^k c_k$
расходится.
Насчет знаков, да, я не указал, что коэффициенты считаются положительными.

[Руст]

Вообще можно обобщить до рассмотрения ряда
$\sum_k \frac{1}{b_k |f(x-a_k)|}$
для абсолютно сходящейся суммы $\sum_k \frac{1}{b_k}$
и непрерывной периодической функции $f(x)$, имеющей конечное число нулей в периоде и около нулей $x_*$
удовлетворяющей неравенству $|f(x-x_*)|\ge a|x-x_*|, a>0.$

Все это легко сводится к рассмотрению положительного монотонно растущего $b_k$
и с распределением $a_k$ в интервале (0,1) и ряду
$g(x)=\sum_k \frac{1}{b_k|x-a_k|}$.
Утверждается, что g(x) почти всюду определена и непрерывна.

[Руст]

Надеюсь с предыдущим согласились.

Обозначим через $N_k$ количество чисел $b_i$ для которых
$2^k\le b_k<2^{k+1}$.
Условие сходимости $\sum_i \frac{1}{b_i}$ эквивалентно
сходимости $\sum_k \frac{N_k}{2^k}$ (мы упорядочили $b_i$ по росту).
Выбросим из рассмотрения интервалы длиной $c_k$ вокруг $N_k$ точек $a_i$, для которых $2^k\le b_k<2^{k+1}$.
Если $\sum_k N_kc_k<\infty$ то меру исключенных точек можно сделать как угодно малой, т.е. мерой 0.
В точках, не попадающих в исключенные интервалы
$\sum_{i:2^k<b_i<2^{k+1}}\frac{1}{b_i|x-a_i|}<C(\frac{N_k\ln(N_k)}{2^k}+\frac{1}{2^kc_k}).$
Это легко устанавливается при равномерном распределении $a_i$, с некоторыми поправками верно и для общего распределения.

Да согласен с вами, гипотеза не верна, я раньше потерял $\ln N_k$.
Для исправления необходимо требовать сходимость $\sum_k \frac{\ln(2+|b_k|)}{|b_k|}<\infty$ .

[sup]

Я использовал теорему Б.Леви, которая прямо утверждает что некий ряд сходится почти всюду.
Прежде всего, в силу периодичности синуса, без потери общности можно считать, что $a_k,x \in [0,2\pi]$. Теперь задача с корнем - прямо вытекает из т. Леви. Однако без корня функции $f_k(x) = \frac {1}{\sin (x - a_k)}$ не интегрируемы и теорема не применима. Но это легко исправить. Накроем все точки $a_k, a_k \pm \pi, a_k \pm 2\pi$ интервалами радиуса $\frac {\varepsilon}{k^2}$, и переопределим $f_k(x)$ на этих интервалах нулем. Теперь уже можно применять теорему Леви. Суммарная мера интервалов "мала", а для точек вне этих интервалов "новый" ряд совпадает со "старым". Таким образом, в силу произвольности $\varepsilon$ сходимость будет почти всюду.
Легко видеть, что для применения теоремы требуется сходимость ряда
$\sum \frac{\ln k}{k^\alpha}$
Или в общей постановке
$\sum \frac{\ln k}{b_k}$