Мультипликативные неравенства в пространствах Соболева

[sup]

Некоторое время назад, в соседней теме возник вопрос о мультипликативных неравенствах в пространствах Соболева. Поскольку в литературе этот вопрос вроде бы как-то особо не изучается , я решил представить один (на мой взгляд небезынтересный) способ получения таких неравенств, имеющий вполне конкретные практические приложения. Я, например, активно им пользуюсь при получении априорных оценок в схеме "умножим-проинтегрируем-по-частям".

Вообще-то, мультипликативные неравенства наиболее естественным образом возникают как результат интерполяции пространств. Отсюда, например, и название интерполяционное неравенство Гальярдо-Ниренберга. Однако они могут быть получены и другим путем, например из неравенства Гельдера.
Вот простые примеры.
1. Пусть $a,b > 0$, $1/p_1 + 1/p_2 = 1$
Тогда
$\int |f(x)|^{a+b}dx \leqslant \left (\int |f(x)|^{p_1a}dx \right )^{1/p_1} \left (\int |f(x)|^{p_2b}dx \right )^{1/p_2}$
Полагая $a+b = r$, $ap_1 = p$, $bp_2 = q$, получим

$$\|f\|_r \leqslant \|f\|_p^{\frac {a}{a+b}}|f\|_q^{\frac {b}{a+b}}$$

В этом неравенстве величины $a,b$ легко пересчитываются в терминах $p,q,r$.(я эти соотношения не выписываю).

2. При $p \geqslant 2$ для функций $u \in W_p^2(R)$ имеет место тождество
$\int |u'(x)|^pdx = -(p-1)\int u(x)u''(x)|u'(x)|^{p-2}dx$
Применяя неравенство Гельдера, получаем

$$\|u'\|_p \leqslant C \left ( \|u\|_p\|u''\|_p \right )^{1/2}$$

Данные примеры носят характер некой "кустарности", поскольку используют ту или иную специфику. Во втором случае, например, имеется условие $p \geqslant 2$, хотя неравенство верно и при $1 \leqslant p < 2$. Между тем, существует один простой подход, позволяющий получать такие неравенства чисто алгебраически из теоремы вложения.

3. Снова рассмотрим пример 1. Пусть $1 \leqslant p \leqslant r \leqslant q$. Для всякой функции $v(x) \in L_p(R^n) \bigcap L_q(R^n)$ справедливо неравенство (разбиваем пространство на два множества, где функция больше и меньше 1)
$\|v\|_r \leqslant C(\|v\|_p + \|v\|_q)$
Пусть $\lambda > 0$. Пусть $ u \in L_p(R^n) \bigcap L_q(R^n)$. Положим $v(x) = u(\lambda x)$. Тогда
$\|u\|_r \leqslant C \lambda^{n/r}(\lambda^{- n/p}\|u\|_p + \lambda^{- n/q}\|v\|_q)$
Минимизируя правую часть по $\lambda$, получим мультипликативное неравенство.


4. Предположим, что для некоторых $p,q,r,m,l$ имеет место вложение
$L_q(R^n) \bigcap W_p^m(R^n) \subset W_r^l(R^n)$
Тогда для некоторого $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$

$$\sum \limits_{|\nu|=l}\|D^\nu u\|_{L_p(R^n)}} \leqslant C\|u\|_{L_q(R^n)}^{1-\alpha} \left ( \sum \limits_{|\nu|=m} \| D^\nu u\|_{L_r(R^n)}} \right )^{\alpha}$$

Действительно, по условию для $ v \in L_q(R^n) \bigcap W_p^m(R^n)$ имеет место неравенство
$\sum \limits_{|\nu|=l}\|D^\nu v\|_{L_p(R^n)}} \leqslant C (\|v\|_{L_q(R^n)} + \sum \limits_{|\nu|=m}\|D^\nu v\|_{L_r(R^n)}})$
Пусть $\lambda > 0$. Пусть $ u \in L_q(R^n) \bigcap W_p^m(R^n)$. Положим $v(x) = u(\lambda x)$. Подставляя $v$ в неравенство, легко получаем
$\sum \limits_{|\nu|=l}\|D^\nu u\|_{L_p(R^n)}} \leqslant C \lambda^{n/p - l}(\lambda^{-n/q}\|u\|_{L_q(R^n)} + \lambda^{m - n/r}\sum \limits_{|\nu|=m}\|D^\nuu\|_{L_r(R^n)}})$
Остается только взять минимум правой части по $\lambda$.
Я не выписываю точное выражение для $\alpha$. Желающие могут убедиться, что оно совпадает с выражением в неравенстве Г.-Н.(Мы еще вернемся к этому вопросу позже).

5. Неравенство Карлсона. Легко убедиться, что для любой финитной функции $f(x)$
$\int \limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx \leqslant C\left ( \left ( \int \limits_{-\infty}^{\infty} f^2(x)dx \right )^{1/2} + \left ( \int \limits_{-\infty}^{\infty} x^2f^2(x)dx \right )^{1/2} \right )$
Полагая $f(x) = u(\lambda x)$, как и раньше получаем неравенство Карлсона (правда без точной константы)

$$\left (\int \limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx \right )^4 \leqslant C\int \limits_{-\infty}^{\infty} f^2(x)dx \int \limits_{-\infty}^{\infty} x^2f^2(x)dx $$

Таким образом, для пространств Соболева со степенным весом мультипликативные оценки могут быть достаточно легко получены из подходящей теоремы вложения.
Достоинство данного подхода заключается в том, что нет нужды запоминать все эти соотношения на параметры. Обычно в неравенствах такого рода возникают некие выпуклые комбинации чего-то-там с чем-то-там. Все это можно легко получить "на лету". Тем более, если нам нужны не абстрактные теоремы, а конкретные неравенства с конкретными показателями.
Точно также очевидный "недостаток" всего этого заключается в том, что сначала надо где-то взять эту самую теорему вложения. Кроме того, а что делать в случае ограниченной области?

Спешу обрадовать. Во многих случаях мультипликативные неравенства можно получить НЕ ЗНАЯ соответствующей теоремы вложения.
Давайте для примера рассмотрим обычную теорему вложения $W_p^1(D) \in L_q(D)$. Пусть $D$ - выпуклая ограниченная область и $0 \in D$. Предположим, что мы ищем мультипликативное неравенство вида
$\int \limits_D |u|^p dx\leqslant C \left ( \int \limits_D |u| dx \right )^{\alpha} \left ( \int \limits_D |\nabla u|^q dx \right )^{\beta} $
Из соображений однородности имеем $p = \alpha + \beta q$.
Далее, в силу выпуклости области $D$ в неравенство можно подставлять функции вида $v(\lambda x)$ при условии $\lambda \geqslant 1$.
Получится неравенство вида
$A_1\lambda^{-n} \leqslant C (A_2\lambda^{-n})^{\alpha}(A_3\lambda^{q-n})^{\beta}$
А значит в силу произвольности $\lambda \geqslant 1$ для существования мультипликативного неравенства указанного вида необходимо
$n \geqslant n\alpha + (n-q)\beta $
Ясно, что неравенство будет "максимально точным", если мы возьмем именно равенство
$n = n\alpha + (n-q)\beta $
Отсюда и из предыдущего величины $\alpha, \beta$ вычисляются единственным образом.
Легко проверить, что при $q < n$ максимальное $p$ получится при $\alpha = 0$ и $1/p = 1/q - 1/n$.
При $q > n$ можно взять любое $p$.А это ничто иное, как условия известной теоремы вложения.
Кстати, при $q > n$ можно получить либо весовое неравенство либо неравенство в классе функций с условием Гельдера. (Более сильное утверждение по сравнению со стандартной теоремой вложения). Для этого в левой части неравенства пишем либо
$\int \limits_D \frac {|u|^p}{x^\nu} dx $
либо просто
$\sup \limits_x \frac {|u|}{x^\nu}$

А потом как и раньше ...

Далее, вместо простой подстановки $v(x) = u(\lambda x)$ можно использовать более гибкую подстановку $v(x_1,x_2, ...) = u(\lambda x_1, \mu x_2, ...)$ и минимизировать по нескольким переменным. На этом пути можно получить следующее "экзотическое" мультипликативное неравенство.

6. Пусть $1/p = \sum \limits_{i=1}^{n} 1/q_i - 1$. Тогда

$$ \|u\|_p^n \leqslant \prod \limits_{i=1}^n\|u_{x_i}\|_{q_i}$$

Разумеется, соответствующая теорема вложения давным давно известна. Ничего нового тут нет. Однако следует отметить ту легкость, с которой получается и мультипликативное неравенство и условия теоремы вложения.
Отмечу, однако, что при желании можно обойтись без ссылки на теорему вложения, и доказать м. неравенства непосредственно (по индукции).
Еще один любопытный момент - rраничный случай $\sum \limits_{i=1}^{n} 1/q_i = 1$. Как мы знаем, для него теорема не работает.Так вот. В этом случае никакой вариации $\lambda$ по сути не происходит, поскольку соответствующая степень обращается в 0. Любопытная особенность.

7. Снова вернемся к неравенству Г.-Н. Рассмотрим вопрос, при котором
$\sum \limits_{|\nu|=l}\|D^\nu u\|_{L_p(R^n)}} \leqslant C\|u\|_{L_q(R^n)}^{1-\alpha} \left ( \sum \limits_{|\nu|=m}\|D^\nuu\|_{L_r(R^n)}} \right )^{\alpha}$
Здесь уже сразу выбрана "однородная" форма м. неравенства, посему нас интересует только значение $\alpha$ и соотношения на параметры.
Поскольку все переменные равноправны, нет нужды применять разные растяжения по разным переменным. Как и раньше необходимое условие заключается в равенстве (теперь уже нет неравенства на $\lambda$)
$l - n/p = -(1-\alpha) n/q + \alpha (m - n/r)$
Это и есть условия неравенства Г.-Н. Как я уже говорил, соответствующее мультипликативное неравенство для финитных гладких функций можно доказать "простой" индукцией.Ну а коль скоро оно верно для гладких финитных, оно верно и для функций из пространств Соболева.

Данный подход работает и в "анизотропных" случаях.
8. Пусть $Q = (0,T) \times D$. Предположим, что $u_t \in L_p(Q)$, $\Delta u \in L_q(Q)$. Для каких $s$ можно утверждать, что $\nabla u \in L_s(Q)$ ?
Пишем предполагаемое неравенство

$$\left (\int \limits_Q |\nabla u|^s dQ \right )^{1/s} \leqslant C\left (\int \limits_Q |u_t|^p dQ \right )^{\alpha/p}\left (\int \limits_Q |\Delta u|^q dQ \right )^{(1-\alpha)/q}$$

Пространственные переменные равноправны. Для них вводим единый коэффициент $\lambda \geqslant 1$. Для временной переменной - $\mu \geqslant 1$. Как и раньше получаем условие
$\left (\mu \lambda^n \right )^{\frac {\alpha}{p} + \frac {1-\alpha}{q} - \frac {1}{s}} \leqslant \mu^\alpha \lambda^{1 - 2\alpha}$
Отсюда вытекает следующая система
$1 - 2\alpha = n \alpha$

$\frac {\alpha}{p} + \frac {1-\alpha}{q} - \frac {1}{s} = \alpha$

А значит
$\frac {1}{p} + \frac {n+1}{q} - 1 = \frac {n+2}{s}$.
Доказательство соответствующего мультипликативного неравенства не использует ничего кроме неравенств Гельдера. Однако найти его "кустарными" методами представляется весьма непростым делом.

9. Еще один пример. Неравенства для следов.
Пусть опять таки $u_t \in L_p(Q)$, $\Delta u \in L_q(Q)$.Для каких $s$ можно утверждать, что $u \in L_\infty(0,T;L_s(D))$ ?
Как и раньше получаем неравенства
$\frac {\alpha}{p} + \frac {1-\alpha}{q} \leqslant \alpha$
$\frac {n\alpha}{p} + \frac {n(1-\alpha)}{q} \leqslant 2(1-\alpha) + \frac {n}{s}$
Отсюда
$(n+2)\alpha = 2 + \frac {n}{s}$
Дальше уже дело техники.

Отмечу, что в неравенствах можно использовать нецелые показатели производных. Дробная часть - суть показатели в условии Гельдера. Кроме этого, можно использовать совсем уж "анизотропные" пространства с разными степенями суммируемости по разным $x_i$. Тем самым мы приходим к самым общим анизотропным пространствам Соболева. Описание и т. вложения для таких пространств можно найти в книге
Бесов, Ильин, Никольский ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ

10. Обобщенное неравенство Харди (см. Бесов ... стр.25)

$$ \left ( \int \limits_0^{\infty}|u|^p}x^\nu dx \right )^{1/p} \leqslant \left ( \int \limits_0^{\infty}|u'|^qx^\mu dx \right )^{1/q}$$

Действуя по схеме, легко получаем соотношение
$\frac {1+\mu}{q} = 1 + \frac {1+\nu}{p}$

Однако здесь нас ждет ложка дегтя. Неравенство верно лишь при дополнительном предположении $p \geqslant q$. Так что схема, к сожалению, не всегда работает безупречно. Было бы любопытно выяснить, почему здесь произошел такой сбой.

Ну и, наконец, мы можем не ограничивать себя лишь нормами функций. Вот пример из "Навье-Стокса".
11. Пусть $n=3$. В попытках помышковать найти оценку, мы могли бы попробовать умножить уравнение на $\Delta u$. К этому времени у нас уже есть оценка $u \in L_\infty(0,T,D)$. Спрашивается, с какими параметрами можно рассчитывать на оценку вида

$$\left |\int \limits_Q (\sum u_i\partial_iu, \Delta u) dQ \right | \leqslant C\|u\|^{\alpha}_{L_\infty(0,T,D)}\|\nabla u\|^{\beta}_{L_p(Q)}\|\Delta u\|^{\gamma}_{L_q(Q)}$$

Легко видеть, что для этого надо
$\alpha + \beta + \gamma = 3$
$\frac {\beta}{p} + \frac {\gamma}{q} = 1$
$\frac {\beta}{p} + \frac {\gamma}{q} + \frac {1}{2}= \frac {\beta + 2\gamma}{3}$

Итак. Окончательный рецепт таков. Пишем некое предполагаемое мультипликативное неравенство. Подставляем в него $v(x_1,x_2, ...) = u(\lambda x_1, \mu x_2, ...)$, под интегралами делаем замену, приравниваем (ну или сравниваем) степени параметров в левой и правой частях. Получится некая линейная (!) система уравнений для параметров. Решаем ее и получаем ответ: возможно ли такое неравенство и какие в нем должны быть степени.

Резюме. Представленный подход позволяет получить (формально) большое количество теорем вложения и соответствующие им мультипликативные неравенства. По моему опыту он прекрасно работает на предварительном этапе получения априорных оценок для дифф. уравнений. На этом этапе важно быстро получить предполагаемую оценку или убедиться, что таковой нет. Строгое доказательство можно получить позже.
Следует отметить, что, строго говоря, речь идет о необходимых условиях. Но на практике они оказываются и достаточными. Пока что только для обобщенных неравенств Харди я столкнулся с конкретным "контрпримером". С другой стороны, как я уже говорил, достаточность можно зачастую прямо таки доказать. В любом случае, данный подход дает как минимум полезную информацию к размышлению.

[Oleg Zubelevich]

Интересный текст, я бы только добавил, что данная техника подробно рассматривается в учебнике Лиоса и Мадженеса "неоднородные граничные задачи" в контексте интерполяции.