Мат. ожидание

[frankenstein]

Задача звучит так:
У Журакула и Джона есть игральные кости с $a$ и $b$ гранями соответственно.
На $n$гранной кости написаны числа от $1$ до $n$.
Была сыграна одна партия в которой Журакул победил. Надо посчитать матожидание выпавших очков Журакула.

Я решил решать так:
Если у Джона выпало 1, то Журакул может выиграть если бросит 2, 3, ..., a очка.
Если у Джона выпало 2, то Ужаркул может выиграть если брости 3, 4, ..., a очка.
Но дальше затрудняюсь...

[ShMaxG]

Обозначим за $A_1,A_2,...,A_a$ события, которые означают что у Журакула на грани выпало 1,2...,$a$ соответственно, а события $B_1,B_2,...,B_b$ пусть означают, что у Джона на грани выпало 1,2,...,$b$ соответственно. Событие что Журакул победил обозначим $C$. Пусть $\nu$ -- количество выпавших очков Журакула. Это дискретная случайная величина, она принимает значения $1,2,...,a$. Так вот, вам необходимо вычислить математическое ожидание $\nu$ при условии, что Журакул победил, т.е. $\[{\mathbf{E}}\left( {\nu |C} \right)\]$.

Запишите сначала в моих обозначениях формулу для вычисления условного мат. ожидания $\nu$.

[frankenstein]

Все пространство событий состоит в декартовом произведении множеств
$\{1, 2, 3, ..., a \} \times \{1, 2, 3, ..., b\}$.

Получается мат. ожидание:

$$ E(v|C) = \sum_{1 \le i < j \le \min(a, b)} \frac{1}{ab} j $$

[ShMaxG]

Я вообще-то другого ожидал, ну да ладно, можно и так. Только надо вспомнить, что мат. ожидание условное, не забудьте поделить ваше выражение справа еще на вероятность события $C$.

Значит $j$ у вас означает количество очков, которые выпали на кости с $a$ гранями. Не понятно, почему вы ограничиваете $j$ минимумом $\min(a,b)$. Вот $i$ меняется от 1 до $b$, а $j$ от 1 до $a$. То, что у вас $i<j$ -- верно. Поправьте и будем двигаться дальше.

[frankenstein]

Я не очень хорошо умею программировать на языке математики .
Вот программа на С++, которая решает данную задачу.

double getExpectation(int a, int b) {
   int i, j, count = 0;
   double E = 0.0;

   for ( i = 1; i <= b; ++i )
      for ( j = i+1; j <= a; ++j ) {
            E += (double) j;
            ++count;
      }

   return E / (double) count;
}

Но, вот проблема с ее оформлением в мат. языке

-- 29.06.2014, 19:52 --

Получается как бы:

$$ E = \sum_{(1 \le i \le b)} \sum_{(i < j \le a)} \frac{j}{ab} $$

-- 29.06.2014, 19:55 --

Насчет $ab$ в знаменателе думаю ошибка, там должно быть, что-то другое.
Думаю надо вывести формулу для определения количества событий, удовлетворяющих условию Журакул выиграл.

[ShMaxG]

Вот это выражение справа еще нужно поделить на вероятность того, что Журакул выиграл, т.е. вероятность события $C$. Можете вычислить эту вероятность? Можете упростить выражение с суммами?

[Foxer]

frankenstein в сообщении #881924 писал(а):

$ab$ в знаменателе думаю ошибка, там должно быть, что-то другое.

Да нет, там все ок, вы же складываете вероятности с некоторыми весами. Вероятность элементарного события в данном случае будет $\frac{1}{ab}$.

[frankenstein]

Итак, попробую упростить выражение:

$$ \sum_{i<j \le a} j = (i+1)+(i+2)+...+(i+(a-i)) = (a-i)i + \frac{(a-i)(a-i+1)}{2} = \frac{(a-i)(a+i+1)}{2} $$

[ShMaxG]

frankenstein
Ок, продолжайте. Суммируйте по $i$.

-- Вс июн 29, 2014 19:53:52 --

Кстати, я там прозевал: $i$ в сумме меняется не до $b$, так как возможно, что $b>a$. Так что минимум туда впишите.

[frankenstein]

Но ведь я указал ограничения для $j$, посмотрите на вложенную сумму

[ShMaxG]

Вы привели формулу:

frankenstein в сообщении #881924 писал(а):

$$ E = \sum_{(1 \le i \le b)} \sum_{(i < j \le a)} \frac{j}{ab} $$

Индекс $j$ действительно должен меняться от $i$ до $a$. Но индекс $i$ -- от 1 до $\min(a-1,b)$, потому что если бы он был больше $a$, то как возможно неравенство $i<j \le a$? Так что в выражении для $i$ минимум все же нужно поставить.

[frankenstein]

Во второй сумме, то что под знаком суммы, есть условие, если оно не соблюдается суммирования просто не происходит.
Это всего лишь стилистическая ошибка.

[ShMaxG]

frankenstein в сообщении #881972 писал(а):

если оно не соблюдается суммирования просто не происходит.

А это уже ваше понимание. С математической точки зрения такая запись некорректна. Тут вам не C++.

[frankenstein]

ShMaxG в сообщении #881973 писал(а):

frankenstein в сообщении #881972 писал(а):

если оно не соблюдается суммирования просто не происходит.

А это уже ваше понимание. С математической точки зрения такая запись некорректна. Тут вам не C++.

Вы правы, мне надо перечитать определение суммирования и как пользоваться им.

-- 29.06.2014, 21:22 --

Итак, я начал сокращать сумму по $i$.

$$ d = \min(a-1, b) $$

$$ \sum_{1 \le i \le d} \frac{(a-i)(a+i+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{1 \le i \le d} (a^2+a-i^2-i) = $$

$$ = \frac{a^2d}{2}+\frac{ad}{2}-\frac{d(d+1)}{2}-\frac{2d^3+3d^2+d}{6} $$

Вот с последней не очень получается.
Нашел формулу.

[ShMaxG]

Смотрите какой тут лайфхак может помочь (да и вообще полезен с общеобразовательной точки зрения). Вот ваша сумма по индексу $j$:

$$\[C_{i + 1}^1 + C_{i + 2}^1 + ... + C_a^1 = \left( {C_1^1 + C_2^1 + ... + C_{i + 1}^1 + ... + C_a^1} \right) - \left( {C_1^1 + C_2^1 + ... + C_i^1} \right) = C_{a + 1}^2 - C_{i + 1}^2\]$$

Я здесь воспользовался тем самым главным свойством биномиальных коэффициентов, которое дает формулу $\[\sum\limits_{k = m}^n {C_k^m} = C_{n + 1}^{m + 1}\]$. Вот теперь надо просуммировать по $i$, попробуйте воспользоваться этой идеей при суммировании теперь по $i$.

И еще: $\[d = \min \left( {a - 1,b} \right)\]$, так как опять же $i<j \le a$, нужно место для $a$

-- Вс июн 29, 2014 21:29:56 --

frankenstein
Досчитали сумму? Для последних двух слагаемых $1/2$ потеряли. Теперь считайте вероятность $C$, аналогичным способом. Про $ab$ не забывайте.