2014-я производная

[Ssheh]

frankenstein в сообщении #881878 писал(а):

Если функция четная - то ее производная четной степени тоже является четной функцией.
Если вы ищете 2014ю производную в нуле функции, то тут очевидно чему она равна.

По ряду Тейлора, там по-моему выходит тоже самое, что и в примере в самом начале, но почему при четности ф-ии выходит тоже самое?что для нас очевидно?

[frankenstein]

ShMaxG в сообщении #881879 писал(а):

frankenstein
Если функция четная (как и $f(x)$) то производная в нуле нечетного порядка равна 0. Число 2014 -- четное.

Так, посмотрим.
$f(x)$ - четная
$f^{(1)}(x)$ - нечетная
$f^{(2)}(x)$ - четная
...
$f^{(2014)}(x)$ - четная.

[ShMaxG]

frankenstein в сообщении #881883 писал(а):

$f^{(2014)}(x)$ - четная.

Ну вот, а четная функция в нуле может принимать любое значение. Вот если бы она оказалась нечетной, тогда да, ответ 0. А на нет и суда нет.

[ewert]

Ssheh в сообщении #881881 писал(а):

По ряду Тейлора, там по-моему выходит тоже самое, что и в примере в самом начале,

Не совсем то же. В одном случае чередование знаков есть, в другом -- нет. Вы не ленитесь, выпишите всё-таки прогрессию.

Ssheh в сообщении #881881 писал(а):

почему при четности ф-ии выходит тоже самое?что для нас очевидно?

Otta в сообщении #881845 писал(а):

Ничего.

[frankenstein]

Ssheh в сообщении #881881 писал(а):

frankenstein в сообщении #881878 писал(а):

Если функция четная - то ее производная четной степени тоже является четной функцией.
Если вы ищете 2014ю производную в нуле функции, то тут очевидно чему она равна.

По ряду Тейлора, там по-моему выходит тоже самое, что и в примере в самом начале, но почему при четности ф-ии выходит тоже самое?что для нас очевидно?

Вы дали полное условие задачи кусочками, в разных местах, поэтому может я неправильно понял.
Как я понял, вы ищете значение 2014й производной функции $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ при $x=0$

-- 29.06.2014, 19:13 --

ShMaxG в сообщении #881885 писал(а):

frankenstein в сообщении #881883 писал(а):

$f^{(2014)}(x)$ - четная.

Ну вот, а четная функция в нуле может принимать любое значение. Вот если бы она оказалась нечетной, тогда да, ответ 0. А на нет и суда нет.

Да, вы правы, что-то я вот что-то торможу.

[Mathusic]

Можно еще, например, на комплексные простейшие разложить.

[mihailm]

Там еще стандартный способ есть, который вроде тут не упоминали: продифференцировать сколько надо раз обе части равенства $f(x)\cdot(x^2+1)=1$

[ewert]

mihailm в сообщении #881913 писал(а):

продифференцировать сколько надо раз обе части равенства $f(x)\cdot(x^2+1)=1$

Ну да, и потом ещё повозиться с рекуррентным уравнением и биномиальными коэффициентами.

[frankenstein]

А может есть некая закономерность, и ее удастся выразить через формулы:

$$ f(x) = \frac{1}{1+x^2} $$

$$ f^{(1)}(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} $$

$$ f^{(2)}(x) = \frac{2x^5-2x^4+4x^3-4x^2+2x-2}{(1+x^2)^4} $$

[ewert]

frankenstein в сообщении #881945 писал(а):

А может есть некая закономерность, и ее удастся выразить через формулы:

Есть, и её mihailm только что указал. Если нужно как-то убить время, то можно воспользоваться именно этим способом.

[Mathusic]

frankenstein в сообщении #881945 писал(а):

А может есть некая закономерность

Для того, чтобы найти замкнутую ф-лу для $n$-й производной, как раз лучше будет разложить дробь на простейшие, тогда их обратно складывая, как раз должна быть видна эта "закономерность".